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Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare_Operatoren angibt.

Vorbereitende Definitionen

Ist A ein linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators so definieren:
:$e^A\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{k!\}\; A^k$
Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren.
Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren A und B ist definiert als
:$[A,B]\; :=\; AB-BA$
Er ist wieder ein linearer Operator.

Die Formel

Aus der Definition folgt die sogenannte Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

:$e^A\; B\; e^\{-A\}\; =\; \backslash sum\_\{m=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{m!\}\; [A,B]\_\{m\}$

mit $[A,B]\_\{m\}\; =\; [A,[A,B]\_\{m-1\}]$ und $[A,B]\_\{0\}=B$.

Falls $[A,[A,B]]=0$ und $[B,[B,A]]=0$ gilt (d. h. jeder dieser beiden Kommutatoren ergibt die Nullfunktion), dann gelten die Formeln

:$e^A\; e^B\; =\; e^B\; e^A\; e^\{[A,B]\}$

:$e^\{A+B\}\; =\; e^A\; e^B\; e^\{-[A,B]/2\}$.

Auch diese beiden Formeln werden jeweils als Baker-Campbell-Hausdorff-Formel bezeichnet.

Es gibt weitere Formeln für Zusammenhänge zwischen den Exponentialen zweier Operatoren, die oft ebenso als Baker-Campbell-Hausdorff-Formel bezeichnet werden.

Weblink

*http://planetmath.org/encyclopedia/BakerCampellHausdorffFormulae.html -- Eine englische Darstellung verschiedener Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln

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