Bairesche Klasse

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Bairesche Klasse

Die Baireschen Klassen stellen eine partielle Klassifizierung der reellen Funktionen dar. Sie ist zum ersten Mal von René Louis Baire in seiner Doktorarbeit vom Jahre 1898 aufgestellt worden und als Antwort auf die zum ersten Mal von Dini (1878) gestellten Frage gedacht worden, ob jede Funktion eine analytische sprich durch Grenzübergang aus elementaren Funktionen gewonnene Darstellung hat.Kleiner I., Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College Mathematics Journal, 20, September 1989, [http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/fond_mat_sis/2_maggio/Israel%20Kleiner.pdf unito.it (pdf)] Inspiration für solche Untersuchungen ist die von Weierstraß in seinem Approximationssatz formulierte Erkenntnis gewesen, dass jede stetige_Funktion Limes von Polynomenfolgen ist. Baire setzt diese Idee fort, in dem er die Klasse aller Funktionen definiert, die Limes von stetigen Funktionenfolgen sind, und nennt diese Funktionen: Funktionen der ersten Klasse. Limites von Funktionenfolgen aus der ersten Klasse bilden die zweite Bairesche Klasse, aus der zweiten Klasse - die dritte Klasse usw. Die Untersuchung der Baireschen Klassen ist später von Lebesgue, Borel, Hausdorff und Young aufgegriffen worden. Die Hoffnung, dass man durch Klassifizierung aller reellen Funktionen und aller Mengen von reellen Punkten die Kontinuumshypothese beweisen könnte, ist bei diesen Untersuchungen ein wichtiger Motivationsfaktor gewesen.Diese Idee ist auf Cantor zurückzuführen. Er zeigt in seiner Arbeit Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten
(Math. Ann. 23, 1884, [http://www.digizeitschriften.de/no_cache/home/suche/ssearch/?id=62&L=&tx_jkDigiTools_pi1%5Bsquery%5D=Fortsetzung+des+Artikels+in+Bd.+XXI%2C+pag.+545&x=0&y=0 pdf]), dass jede abgeschlossene Menge von reellen Punkten Vereinigung von einer perfekten und einer abzählbaren Menge ist, und äußert die Vermutung, dass sich dieses Schema auf solche Weise erweitern lässt, so dass alle Mengen von reellen Punkten durch einfache Mengen beschrieben werden können. Die Arbeiten von Cantor und Baire gelten als die Ersten auf dem Gebiet der so genannten deskriptiven Mengenlehre (von lateinisch describere ?beschreiben?). Diese Hoffnung ist durch den von Hausdorff und Alexandroff im Jahre 1916 erbrachten Beweis der Kontinuumshypothese für Borelsche_MengenHausdorff F., Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen, Mathematische Annalen, 77, 3, 1916, S. 430-437, [http://www.digizeitschriften.de/no_cache/home/suche/ssearch/?id=62&L=&tx_jkDigiTools_pi1%5Bsquery%5D=Die+M%C3%A4chtigkeit+der+Borelschen+Mengen&x=0&y=0 digizeitschriften.de (pdf)], die mit den Baireschen Klassen eng verbunden sind, noch verstärkt worden. Heutzutage wissen wir allerdings, dass eine vollständige analytische Klassifizierung der reellen Funktionen und der Mengen von reellen Punkten genau so wie der Beweis der Kontinuumshypothese unlösbare Aufgaben sind.

Definition

Sei

A=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{\times}}}[a_i,b_i]\subset\mathbb{R}^n

für eine

n\leq \aleph_0

.

Die nullte Bairesche Klasse

H_0

auf

A\,

wird als die Menge aller stetigen Abbildungen

:

f:A\to\mathbb{R}

definiert.

Für jede höchstens abzählbare Ordinalzahl

\kappa>0

ist die

\kappa

-te Bairesche Klasse auf

A\,

durch

H_\kappa = \left\{ f:\ f\notin C^{(<\kappa)}=\bigcup_{\alpha<\kappa}H_\alpha;\  \exist (f_{n})_{n=1,2,...}\left(\forall n \left(f_n\in C^{(<\kappa)}\right)\land f=\lim_{n\to\infty}f_n  \right) \right\}

definiert.Die Einschränkung auf die höchstens abzählbaren Ordinalzahlen ist nicht zwingend erforderlich. Sie ist damit begründet, dass alle

\kappa

-ten Baireschen Klassen für überabzählbare

\kappa

-s leer sind, was man leicht durch transfinite Induktion zeigen kann (s. Komjath P., Totik V., Problems and Theorems in Classical Set Theory, Springer, 2006).

Eine Funktion heißt Bairesch, wenn sie Element einer Baireschen Klasse ist. Sie heisst Bairesch vom Typ

\kappa

, wenn sie Element von
:

C^{(\kappa)}=C^{(<\kappa)}\cup H_\kappa

ist.

Klassifikation von Young

In der Klassifikation von Young wird rekursiv die Menge der Funktionen definiert, die Limes von fallenden Folgen sind - genannt Funktionen vom Typ

g_\xi

, sowie die Menge der Funktionen, die Limes von wachsenden Folgen sind - Funktionen vom Typ

G_\xi

.??????????_?., ?? ?????????? ??????????? ??????????? ???????, ?????. ??., 1932, 39, 4, S. 153-170, [http://www.kantorovich.icape.ru/biblio/004.pdf pdf]^,Hartogs F., Zur Darstellung und Erweiterung der Baireschen Funktionen, Mathematische Zeitschrift, 42, 1, Dezember 1937, [http://www.digizeitschriften.de/no_cache/home/suche/ssearch/?id=62&L=&tx_jkDigiTools_pi1%5Bsquery%5D=Zur+Darstellung+und+Erweiterung+der+Baireschen+Funktionen&x=12&y=14 digizeitschriften.de (pdf)] Dabei dient in den beiden Fällen als Basis der Rekursion die Menge der stetigen Funktionen. Eine gute Möglichkeit die Youngschen Klassen zu definieren und den Zusammenhang zwischen den Youngschen Klassen und den Baireschen Klassen zu veranschaulichen bietet die Notation von Hahn:Hahn H., Reelle Funktionen, Leipzig 1932, Akademisches Verlagsgesellschaft M.B.H.

* mit

S_1

wird die Menge der Funktionen bezeichnet, die Limes einer fallenden Folge von Funktionen aus einer Funktionenmenge

S

sind,

*

S^1

- ist die Menge der Funktionen, die Limes einer wachsenden Folge von Funktionen aus

S

sind,

*

S^*

- ist die Menge der Funktionen, die Limes einer beliebigen Folge von Funktionen aus

S

sind,

*

S^{(0)}=S_{0}=S^{0}=S

S^{(<\xi)}=\cup_{\alpha<\xi}S^{(\alpha)}

S^{(\xi)}={\left(S^{(<\xi)}\right)}^*

S^{<\xi}=\cup_{\alpha<\xi}S^{\alpha}

S^{\xi}={\left(S^{<\xi}\cup S_{<\xi}\right)}^1

S_{\xi}={\left(S^{<\xi}\cup S_{<\xi}\right)}_1

S^\xi_\xi=S^\xi\cap S_\xi

Wenn

C

die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, dann entspricht die Bezeichnung

C^{(\xi)}

die schon verwendete Bezeichnung für die Menge der Baireschen Funktionen vom Typ

\xi

. Die Menge der Youngschen Funktion vom Typ

g_\xi

ist in dieser Notation

C_\xi

und vom Typ

G_\xi

C^\xi

. Die Youngschen Funktionen vom Typ

g_1

sind die oberhalbstetigen und vom Typ

G_1

- die unterhalbstetigen Funktionen.An dieser Stelle sei noch einmal unterstrichen worden, dass es sich hier um im engeren Sinne reellwertige Funktion handelt. Falls man zulässt, dass die Limesfunktionen auch die Werte ±? annehmen, dann ist zwar jede Youngsche Funktion halbstetig, nicht jede halbstetige Funktion ist aber Youngsch.

Es gelten folgende Regeln:Alle diese Regeln findet man im Buch von Hahn unter 35.1.1, 35.1.11, 35.1.21, 35.1.5, 34.2.1, 34.2.11 und 34.1.1.

*Falls

\eta<\xi

C^\eta\subseteq C^\xi,\  C^\eta\subseteq C_\xi,\ C_\eta\subseteq C^\xi,\ C_\eta\subseteq C_\xi,\ C^\eta+C_\eta \subseteq C^\xi_\xi,\ C^\eta_\eta \subseteq C^\xi_\xi

und

C^{(\eta)}\subseteq C^{(\xi)}

.
*Falls

\xi

isoliert ist (hat also einen unmittelbaren Vorgänger

\xi-1

C^{<\xi}=C^{\xi-1}\,

und

C_{<\xi}=C_{\xi-1}\,

.
*Für

\xi>0

(C^\xi)_1=C_{\xi+1}\,

und

(C_\xi)^1=C^{\xi+1}\,

.
*Für

\xi>1

(C_{<\xi})^1=C^{\xi}\,

und

(C^{<\xi
})_1=C_{\xi}\,

.
*Falls

\xi

keinen unmittelbaren Vorgänger hat (ist also eine Limeszahl):

C_{<\xi}\cup C^{<\xi} =C^{<\xi}=C_{<\xi}\,

.
*Für

\xi>0

(C^\xi_\xi)_1=C_{\xi}\,

und

(C^\xi_\xi)_1=C^{\xi}\,

.
*Für

\xi>0

(C^\xi_\xi)^*=C_{\xi+1}^{\xi+1}\,

.
*Falls

\xi

eine Limeszahl ist:

\cup_{\alpha<\xi}C^\alpha_\alpha=C_{<\xi}\cup C^{<\xi} \,

\forall(f_1\in C_\xi)\ \forall(f_2\in C^\xi)\ \exist(f\in C^\xi_\xi)\ ((f_1\leq f_2)\Rightarrow (f_1\leq f \leq f_2))

(Einschiebungssatz),
Zusammenhang zwischen Baireschen Funktionen und Youngschen Funktionen:
*

C^{\xi}\cup C_{\xi}\subseteq C^{(\xi)}=C^{\xi+1}_{\xi+1}=C^{\xi+1}\cap C_{\xi+1}.\,

.
*

C^{\xi}=\left(C^{(<\xi)}\right)^1\,

und

C_{\xi}=\left(C^{(<\xi)}\right)_1\,

Wegen

C^{(0)}=C^0=C_0=C

bedeutet die letzte Regel, dass sich die Hierarchie der Youngschen Funktionen auch mit Hilfe der Hierarchie der Baireschen Funktionen definieren lässt.

Verbindung zu den Borelschen Mengen

Die Borelschen Mengen lassen sich folgendermassen klassifizieren:
*

M^{\{1\}}

für eine beliebige Mengen

M

ist die Bezeichnung der Menge von Vereinigungen und

M_{\{1\}}

der Menge von Durchschnitten von abzählbar vielen Elementen von

M

.
*

F

ist die Menge der abgeschossenen und

G

der offenen Untermengen von

A

.
*

(F\cup G)^{\{<\xi\}}=\bigcup\nolimits_{\eta<\xi}(F\cup G)^{\{\eta\}}

(F\cup G)_{\{<\xi\}}=\bigcup\nolimits_{\eta<\xi}(F\cup G)_{\{\eta\}}

(F\cup G)^{\{\xi\}}=\left((F\cup G)^{\{<\xi\}}\cup (F\cup G)_{\{<\xi\}}\right)^{\{1\}}

(F\cup G)_{\{\xi\}}=\left((F\cup G)^{\{<\xi\}}\cup (F\cup G)_{\{<\xi\}}\right)_{\{1\}}

B^{\{1\}}=G,\ B_{\{1\}}=F

B^{\{1+\xi\}}=(F\cup G)^{\{\xi\}},\ B_{\{1+\xi\}}=(F\cup G)_{\{\xi\}}\,

Man nennt

(F\cup G)_{\{\xi\}}

die multiplikative Klasse

\xi

(F\cup G)^{\{\xi\}}

wird die additive Klasse

\xi

genannt. Jede Borelsche Menge gehört zu mindestens einer diesen Klassen (mit

\xi<\Omega

). Eine Funktion heißt B-messbar der Klasse

\xi

, wenn für jede abeschlossene Menge

U

das Urbild

f^{-1}(U)

Element der multiplikativen Klasse

\xi

ist. Die B-messbaren Funktionen lassen sich auch durch Lebesgue-Mengen charakterisieren. Sei für jede beliebige Menge

M

(*,M)=\{f:\ \forall y[f\geq y]\in M\}

(M,*)=\{f:\ \forall y[f\leq y]\in M\}

(M,M)=(M,*)\cap (*,M)

wobei

[f\;R\;y]=\{x:\ f(x)\;R\;y\}

.

Es lässt sich zeigen, dass die Menge der B-messbaren Funktionen der Klasse

\xi

die Menge

((F\cup G)_{\{\xi\}},(F\cup G)_{\{\xi\}})

ist.

Für jede jede endliche Ordinalzahl

\xi

sind die Baireschen Funktionen vom Typ

\xi

die B-messbaren Funktionen der Klasse

\xi

. Für jede unendliche höchstens abzählbare Ordinalzahl sind die Baireschen Funktionen vom Typ

\xi

die B-messbaren Funktionen der Klasse

\xi+1

(Satz von Lebesgue-Hausdorff).Kuratowski_C., Topologie I, Warszawa-Lwów, 1933, § 31.^,Lebesgue H., Sur les fonctions representables analytiquement, Journal
de Mathematiques Pures et Appliquees, 1 (1905), S. 139?216 ([http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/CadresFenetre?O=NUMM-107470&M=chemindefer Gallica - la biblioteque numerique])

Dieser Satz lässt sich mit Hilfe der oben eingeführten Notation in einer sehr kompakten Form aufschreiben:
:

C^{(\xi)}=(B_{\{\xi+1\}},B_{\{\xi+1\}})\,

.

Er lautet für die Youngschen Funktionen
:

C^{\xi}=(B_{\{\xi\}},*),\ C_{\xi}=(*,B_{\{\xi\}})\,

.Hausdorff F., Mengenlehre, 1927, § 39.^,

Eigenschaften

Die Menge der Baireschen Funktionen vom Typ

\xi

ist für jede höchtens abzählbare Ordinalzahl

\xi

bezüglich der algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und Division abgeschlossen:Goffman C., Reelle Funktionen, Wissenschaftsverlag, 1976, ISBN 3-411-01510-1
*

\{f,g\}\subset C^{(\xi)} \Rightarrow \{f+g,fg\}\subset C^{(\xi)}

\{f,g\}\subset C^{(\xi)} \land \forall x(|g(x)|>0) \Rightarrow \frac{f}{g}\in C^{(\xi)}

Es gilt außerdem:
*

\{f,g\}\subset C^{(\xi)} \Rightarrow \{|f|,\ \max(f,g),\ \min(f,g)\}\subset C^{(\xi)}.

\{f_n\}_{n=1,2,...}\subset C^{(\xi)} \Rightarrow \underset{n\to \infty}{\mathrm{Lim}}f_n\in C^{(\xi)}

Jede Funktion mit höchstens abzählbar viele Unstetigkeitstellen sowie jede charakterstische Funktion von einer beschränkten abgeschlossenen Menge ist eine Funktion der höchstens ersten Klasse.Natanson I.P., Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1977, ISBN 3 87144 2178 (auch in digitaler Form auf russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]) Beispiel für eine Funktion der zweiten Klasse ist die Dirichlet-Funktion mit ihrer analytischen Darstellung:
:

D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x.

Das Konstruieren von Beispielen aus höhren Baireschen Klassen ist nicht trivial. Die Frage, ob die Baireschen Klassen leer sind, ist 1905 von Lebesgue beantwortet worden. Ihm gelingt es zu zeigen, dass keine der Baireschen Klassen leer ist, und dass die Menge der Baireschen Funktionen und das Kontinuum gleichmächtig sind. Das Letzte bedeutet, dass es Funktionen gibt, die in keiner der Baireschen Klassen liegen. Man müsste um ein explizites Beispiel für eine solche Funktion zeigen zu können, eine im Borelschen Sinne nicht messbaren Menge konstruiren. Nicht B-messbare Mengen sind die Vitali-Mengen. Sie sind auch Beispiel für nicht L-messbare Mengen. Allerdings wird bei ihrer Defintion

\mathrm{AC}

(die_Auswahlaxiom) verwendet.

Die Menge der Unstetigkeitstellen jeder Baireschen Funktion vom Typ

1

ist mager. Diese Aussage ist für eine beliebige Bairesche Funktion im Allgemenen nicht richtig. Gegenbeispiel ist die Dirichlet-Funktion. Für jede Bairesche Funktion existiert aber eine Menge deren Komplement mager ist und für die

f

relativ zu dieser Menge stetig ist.

Universalfunktion

Wichtiges Instrument zur Untersuchung der Borelschen Mengen und der Baireschen Funktionen stellen die sogenannten Universalfunktionen dar.

Die Funktion
:

F:A\times[0,1]\to \mathbb{R}

heißt Universalfunktion für die Funktionenmenge
:

C\subset \{f/'> f: A\to \mathbb{R}\}

falls
:

\forall f\in C\ \exist t\in[0,1]\ \forall x (F(x,t)=f(x)).

Die Funktion
:

F:[0,1]\to M

heißt Universalfunktion relativ zu der Menge

M

falls
:

\forall X\in M\ \exist t\in [0,1](F(t)=X).

Zentrale Rolle bei dem Beweis, dass die Baireschen Klassen

H_\xi

und die multiplikativen Klassen

\xi\,

für jede

\xi<\Omega

nicht leer sind, spielt der Satz von Lebesgue über die Universalfunktion: Für jede positive höchstens abzählbare Ordinalzahl

\xi

exisistiert Universalfunktion
:

F_\xi:A\times[0,1]\to \mathbb{R}

für die Menge

C^{(<\xi)}

, die Bairesch ist.Man kann sogar zeigen, dass es für

C^{(<\xi)}

eine Bairesche Universalfunktion aus der

\xi

-te Bairesche Klasse gibt. Für die Menge der Baireschen Funktionen vom Typ

\xi

exisitiert keine Bairesche Universalfunktion aus der

\xi

-te Bairesche Klasse. Für die Menge der Youngschen Funktionen vom Typ

\xi

existiert eine Youngsche Universalfunktion, die auch vom Typ

\xi

ist. (s. ?????????? ?., ?? ????????????? ????????, Journ. Leningr. F.M.O. 2, H.2, 1929, S. 13-21, [http://www.kantorovich.icape.ru/biblio/005.pdf pdf])

Der entsprechende Satz für Borelsche Mengen lautet: Für jede höchstens abzählbare Ordinalzahl

\xi

exsistiert Universalfunktion

F_\xi

relativ zu der multiplikativen Klasse

\xi

, so dass
:

\{(x,z):\ x\in F_\xi(z)\}\in (F\cup G)_{\{\xi\}}\subset \mathcal{P}(A\times[0,1]).

Die Klasse B⁺

Anwendung in der Integrationstheorie finden die Funktionen der so genannten Baireschen Klasse

B^+

. Für jede Folge

(a_n)_{n=1,2,...}

aus Elementen der Menge

:

\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}

sei

:

\underset{n}{\textrm{Sup}}\;a_n = \underset{n}{\textrm{sup}}\;a_n,\,

falls es eine solche Zahl

a\in\mathbb{R}\cup\{-\infty\}

gibt, so dass

\forall n(a_n\leq a)

.
Sonst sei
:

\underset{n}{\textrm{Sup}}\;a_n = +\infty.

Die Klasse

B^+

wird wie folgt definiert
:

B^+=\left\{f=\underset{n}{\textrm{Sup}}\;f_n:\ \ \forall m(f_m\leq f_{m+1}\land f_m\in C_c(\mathbb{R}^n))\right\},

wobei

C_c(\mathbb{R}^n)

die Menge der stetigen Funktionen

f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

mit Satzes_von_Dini lässt sich zeigen, dass diese Definition korrekt (also von der Wahl der monoton wachsenden Funktionenfolge

(f_n)_{n=1,2,...}

nicht abhängig) ist.Freitag E.,Vorlesungen über Analysis, Skript, Teil II, [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~t91/skripten/analysis/a2.pdf pdf]

Verallgemeinerungen

Der Begriff Bairesche Funktion lässt sich für Abbildungen
:

f: X\to Y

zwischen beliebigen metrischen Räumen

X

und

Y

definieren. Allerdings sind nicht alle Eigenschaften der reellen Baireschen Funktionen ohne Weiteres auf die allgemeinen Baireschen Funktionen übertragbar. Alle Abbildungen des metrischen Raumes der algebraischen Zahlen auf sich selbst gehören z.B. zu der nullten oder zu der ersten Baireschenklasse. Wenn

Y

die Menge der reellen Zahlen ist, dann ist die Vollständigkeit und das Vorhandenssein eines nichtleeren insichdichten_Kerns von

X

ausreichend dafür, dass keine der Baireschen Klassen

\xi<\Omega

leer ist. Jede reellwertige B-messbare Funktion ist eine Bairesche Funktion. Falls

Y

eine abzählbare Basis hat, dann ist jede B-messbare Funktion der Klasse

2<\xi<\Omega

Limes von B-messbaren Funktionen niedriger Klassen. Jede Bairesche Funktion ist B-messbar.Srivastava S., A course on Borels sets. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98412-7 Falls

f

eine Bairesche Funktion vom Typ

\alpha

und

g

eine Bairesche Funktion vom Typ

\beta

, dann ist ihre Komposition eine Bairesche Funktion vom Typ

\alpha+\beta

Quellen und Bemerkungen

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Universalfunktion

Die Klasse B+

Verallgemeinerungen

Quellen und Bemerkungen

Die Klasse B⁺