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Baire-Kategorie

Bei den Baire-Kategorien handelt es sich um die Klassifikation von Mengen. Folgende Frage war Ausgangspunkt der Definition: Eine Folge $(f\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ reellwertiger, auf dem Intervall $[0,1]$ stetiger Funktionen konvergiert punktweise gegen die Funktion $f(x)$. Ist diese Menge der $x\; \backslash in\; [0,1]$ in denen $f(x)$ nicht stetig ist, ?groß? oder ?klein?? Die Antwort nach Baire lautet: Sie ist mager.

Definition

Wir benötigen zunächst, eine Teilmenge $\backslash mathcal\{A\}\; \backslash subset\; \backslash mathcal\{M\}$ heißt nirgends dicht in $\backslash mathcal\{M\}$, wenn der Abschluss von $\backslash mathcal\{A\}$ keine offene Kugel von $\backslash mathcal\{M\}$ enthält.

Eine Teilmenge $\backslash mathcal\{A\}\; \backslash subset\; \backslash mathcal\{M\}$ heißt von 1. Kategorie oder mager, falls $\backslash mathcal\{A\}$ eine ABZÄHLBARE Vereinigung nirgends dichter Mengen ist. $\backslash operatorname\{Kat\}(A)\; =\; 1$.

Teilmengen $\backslash mathcal\{A\}\; \backslash subset\; \backslash mathcal\{M\}$, die nicht von 1. Kategorie sind, heißen von 2. Kategorie. Das Komplement einer Menge von 1. Kategorie heißt residuell.

Siehe auch

Satz von Baire

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