Axiomensystem
Ein Axiomensystem (auch: Axiomatisches System) ist im engeren Sinn ein System aus Axiomen und RegelnBochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 79, in einem etwas anderen Nebensinn "eine Menge von Sätzen ..., die sich in Axiome und ...Theoreme gliedert"Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Axiomatisches System.Allgemeines
Ein Axiomensystem als Produkt der Axiomatisierung eines Wissensgebietes dient einer ökonomischen und übersichtlichen "Darstellung der in ihm geltenden Sätze und der zwischen ihnen bestehenden Folgerungszusammenhänge"Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Axiomatisches System.
Die Axiomatisierung zwingt zugleich zu einer klaren und eindeutigen Begrifflichkeit.
Die Elemente eines axiomatischen Systems sind:
(a) eine Menge von Basiselementen,
(b) eine Menge (als wahr vorausgesetzter) Aussagen über diese Basiselemente (= Axiome) und
(c) eine Menge von logischen Schlussregeln zur Ableitung weiterer Aussagen.
Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Axiom
Forderungen an ein Axiomensystem
An ein axiomatisches System werden Forderungen gestellt. Die Forderungen an ein axiomatisches System können in unbedingte und in weniger strenge eingeteilt werden.Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 80
Als unabdingbar geltenHilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 98; Prechtl, in: Metzler Philosophie Lexikon, 2. Aufl. (1999)/Axiom, Axiomensystem:
# Widerspruchsfreiheit;
# Unabhängigkeit; und
# Vollständigkeit.
Als wünschenswertPrechtl, in: Metzler Philosophie Lexikon, 2. Aufl. (1999)/Axiom, Axiomensystem die
# Einfachheit
Widerspruchsfreiheit
Ein Axiomatisches System muss widerspruchsfrei sein.
Ein Widerspruch liegt vor, wenn man aus einem Kalkül sowohl A, als auch ¬ A herleiten kann. D.h. dann, dass man alles herleiten kann. Widerspruchsfrei ist dann also ein Kalkül, in dem es Aussagen gibt, die nicht herleitbar sind. So Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 99; vgl. auch Prechtl, in: Metzler Philosophie Lexikon, 2. Aufl. (1999)/Axiom, Axiomensystem
Oder in Worten von Tarski: ?Man nennt eine deduktive Disziplin widerspruchsfrei, wenn keine zwei Lehrsätze dieser Disziplin einander widersprechen oder, mit anderen Worten, wenn von zwei beliebigen sich widersprechenden Sätzen (...) mindestens einer nicht bewiesen werden kann.?Tarski, Einführung, 5. Aufl. (1977), S. 144
In einer strengeren Fassung bedeutet die Forderung der Widerspruchsfreiheit: "es muss nicht nur bewiesen werden, dass kein Widerspruch besteht, sondern auch, dass ein Widerspruch im System nicht vorkommen kann.Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 80
Vollständigkeit des Systems
Ein System ist vollständig, ?wenn aus seinen Axiomen alle wahren Aussagen des Gebietes ableitbar sind?Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 80
Nach Prechtl ist eine Vollständigkeit im weiteren und im engeren Sinn zu unterscheiden. Während die obige Definition die Vollständigkeit im weiteren Sinn betrifft, liegt eine Vollständigkeit im strengeren Sinn vor, wenn jede nicht aus den Axiomen ableitbare Aussage zusammen mit den Axiomen einen Widerspruch herzuleiten gestattetPrechtl, in: Metzler Philosophie Lexikon, 2. Aufl. (1999)/Axiom, Axiomensystem.
Dies dürfte den Formulierungen von Tarski und Hilbert/Ackermann entsprechen: ?Man nennt dagegen eine Theorie vollständig, wenn von zwei beliebigen sich widersprechenden und ausschließlich von Ausdrücken der betrachteten Theorie und der ihr vorangehenden Theorien formulierten Sätzen mindestens éin Satz bewiesen werden kann.?Tarski, Einführung, 5. Aufl. (1977), S. 144 ?Sinngemäß wird die Vollständigkeit des Axiomensystems so definiert, dass wir von ihm verlangen, dass der Begriff der herleitbaren Formel sich mit dem Begriff der allgemeingültigen Formel deckt.?Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 100
Als vollständig gilt das AussagenkalkülTarski, Einführung, 5. Aufl. (1977), S. 146 und
die elementare Geometrie Tarski, Einführung, 5. Aufl. (1977), S. 146
Unabhängigkeit der Axiome
?Unabhängig sind die Axiome, wenn keines von ihnen aus den anderen ableitbar ist?Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 80; vgl. auch Prechtl, in: Metzler Philosophie Lexikon, 2. Aufl. (1999)/Axiom, Axiomensystem.
(Einfachheit des Axiomensystems)
Ein Axiomensystem soll einfach sein.Prechtl, in: Metzler Philosophie Lexikon, 2. Aufl. (1999)/Axiom, Axiomensystem
Axiomensysteme in einzelnen Bereichen
Logik
Für die elementare Aussagenlogik, die Prädikatenlogik erster Stufe und verschiedene Modallogiken gibt es axiomatische Systeme, die die genannten Anforderungen erfüllenRegenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Axiomatisches System.
Für die Prädikatenlogiken höherer Stufen lassen sich nur widerspruchsfreie, aber nicht vollständige axiomatische Systeme entwickeln.Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Axiomatisches System Das Entscheidungsproblem ist in ihnen nicht lösbar.
Arithmetik
Für die Arithmetik gilt der Gödelsche Unvollständigkeitssatz: ist sie widerspruchsfrei, dann ist sie unvollständig; ist sie vollständig, dann kann ihre Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen werden.
?Die angesprochene Unvollständigkeit der Arithmetik beispielsweise bedeutet folgendes: Für jede nur denkbare Formalisierung der elementaren Arithmetik gilt, dass es in ihr Sätze gibt, die in dieser Formulierung weder beweisbar noch widerlegbar sind. Mit anderen Worten: Es gibt in jeder dieser Formalisierungen Sätze A mit der Eigenschaft ,dass sich weder A noch ¬ A beweisen lässt."
Hoyningen-Huene, Logik (1998), S. 272
Geometrie
Hilbert gelang es 1899 die euklidische Geometrie zu axiomatisieren.
(Sonstige) Axiomensysteme aus dem Bereich der Mathematik
Huntingtonsches Axiomensystem
Peano-Dedekindsches_Axiomensystem_der_Arithmetik
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
Sprachwissenschaft
Karl Bühler versuchte 1933 eine Axiomatik der Sprachwissenschaft zu entwickeln.
Axiomatisches System und Gödelscher Unvollständigkeitssatz
Nach dem 1931 von Gödel bewiesenem Gödel-Theorem (auch: Unvollständigkeitssatz) ist es für ein mathematisches formales System ?unmöglich, zugleich dessen Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit zu beweisen?Schülerduden, Philosophie (2002), Satz vom (verbotenen) Widerspruch. "Kein adäquates Axiomensystem der Theorie eines unentscheidbaren Kalküls ist absolut-vollständig."Lorenzen, Logik, 4. Aufl. (1970), S. 136
Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze "beweisen die Grenzen formalistischen Denkens und die Grenzen unseres Erkenntnisvermögens" Zoglauer, Einführung (1999), S. 115 und zeigen eine ?absolute Grenze? der formalen Logik".Hoyningen-Huene, Logik (1998), S. 272
Siehe auch
Aussage
Axiom
Axiomatisierung
Begriffssystem
Beweis
Entscheidungsproblem
Formales System
Widerspruchsfreiheit
