Axiom
Axiom ist ein nicht deduktiv abgeleiteter Grundsatz einer Theorie (Wissenschaft, eines axiomatischen Systems).
Der Ausdruck "Axiom" wird in drei Grundbedeutungen verwendet: Er bezeichnet
[1] einen unmittelbar einleuchtenden Grundsatz (klassischer (materialer) Axiombegriff) (Beispiel: Satz vom Widerspruch);
[2] ein vielfach bestätigtes allgemeines Naturgesetz (naturwissenschaftlicher (physikalischer) Axiombegriff) (Beispiel: Newtonsche Axiome);
[3] ein zu Grunde gelegter, nicht abgeleiteter Ausgangssatz (moderner (formaler) Axiombegriff).
Axiom im Sinne eines evidenten Grundsatzes (klassischer Axiombegriff)
Der klassische Axiombegriff wird auf Euklid und Aristoteles zurückgeführt. Axiom bedeutet klassisch ein unmittelbar einleuchtendes Prinzip. Diese Bedeutung war bis in das 19. Jahrhundert herrschend. Als evidentes Prinzip bedarf ein Axiom weder eines Beweises noch ist es einem Beweis zugänglich. In metaphysischer Interpretation ist es durch Evidenz, Gewissheit und ontologische Priorität gekennzeichnet. Dies ist in der neuzeitlichen Axiomatik mit ihrer Formalisierung entfallen. Axiome unterscheiden sich von anderen Aussagen nur dadurch, dass sie nicht abgeleitet sind Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 78 f.
Axiom im Sinne eines allgemeinen Naturgesetzes (naturwissenschaftlicher Axiombegriff)
In den empirischen Wissenschaften bezeichnet man als Axiome auch grundlegende Gesetze, die vielfach empirisch bestätigt worden sind Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Axiom. Als Beispiel werden die Newtonschen Axiome der Mechanik genannt.
Auch wissenschaftliche Theorien, insbesondere die Physik, beruhen auf Axiomen. Aus diesen werden Theorien geschlussfolgert, die im Experiment verifiziert werden. Stehen Aussagen der Theorie im Widerspruch zur experimentellen Beobachtung, werden die Axiome angepasst. Beispielsweise liefern die Newtonsche Axiome nur für ?langsame? und ?große? Systeme gute Vorhersagen und sind durch die Axiome der Speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik abgelöst bzw. ergänzt worden. Trotzdem verwendet man die Newtonschen Axiome weiter für solche Systeme, da die Folgerungen einfacher sind und für die meisten Anwendungen die Ergebnisse hinreichend genau sind.
Axiom im Sinne eines unabgeleiteten Ausgangssatzes einer Theorie (moderner (formaler) Axiombegriff)
Durch Hilbert (1899) wurde ein formaler Axiombegriff herrschend: Axiom ist jede unabgeleitete Aussage. Dies ist eine rein formale Eigenschaft. Die Evidenz oder der ontologische Status eines Axioms spielt keine Rolle und bleibt einer gesondert zu betrachtenden Interpretation überlassen.
Ein Axiom ist dann eine grundlegende Aussage, die
* Bestandteil eines formalisierten Systems von Sätzen ist,
* ohne Beweis angenommen wird und
* aus der zusammen mit anderen Axiomen alle Sätze (Theoreme) des Systems logisch abgeleitet werden.
Teilweise wird behauptet, ein Axiom sei "ein unbewiesener und daher unverstandener Satz"Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Anfang und zugleich, ob ein Axiom verstehbar sei, ?weil auf einsichtigen Operationen beruhend? ist, ?kann zunächst offenbleiben?Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Axiom.
Axiome beruhten auf "Willkür"Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Anfang.
Richtig daran ist, dass ein Axiom - bezogen auf eine Theorie - unbewiesen ist. Das heißt aber nicht, dass ein Axiom unbeweisbar sein muss. Die Axiomeigenschaft ist relativ. Was in einer Wissenschaft ein Axiom ist, kann in einer anderen ein Theorem sein.
Ein Axiom ist unverstanden, nur insofern seine Wahrheit nicht formal bewiesen, sondern vorausgesetzt ist. Nur für den, der Verständnis mit formaler Beweisbarkeit gleichsetzt und es keine Evidenz gibt, sind Axiome unverstanden. Der moderne Axiombegriff dient dazu, die Axiomeigenschaft von der Evidenzproblematik abzukoppeln, was aber nicht notwendigerweise bedeutet, dass es keine Evidenz gibt.
Wichtig ist allerdings, dass bei Anwendung der axiomatischen Methode bei der Deduktion der Theoreme nicht von der Deutung der axiomatischen Zeichen Gebrauch gemacht wird Carnap, Einführung in die symbolische Logik, 3. Aufl. (1968), S. 174.
Axiome beruhen auch nur in pointierter Formulierung auf Willkür. Schon in formaler Hinsicht müssen sie sich den Forderungen nach Widerspruchsfreiheit, Unabhängigkeit und Vollständigkeit eines axiomatischen_SystemsHilbert/Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, 6. Aufl. (1972), S. 98 unterordnen.
Abgrenzungen
Theorem
Herrschend ist der Sprachgebrauch, nach dem Axiom ein Gegenbegriff zu Theorem (im engeren Sinn) istTarski, Einführung in die mathematische Logik, 5. Aufl. (1977), S. 127:
Im Gegensatz zu Theoremen werden Axiome weder deduktiv abgeleitet noch durch formale Beweisgänge belegt. Theoreme sind also Sätze, die von Axiomen abgeleitet werden Vgl. Carnap, Einführung in die symbolische Logik, 3. Aufl. (1968), S. 172
Mitunter wird ein Axiom als Unterfall eines Theorems bezeichnet So z.B. Ruppen, Einstieg (1996), S. 125. Dann wird der Ausdruck Theorem im weiteren Sinn, d.h. als Lehrsatz, verwendet.
Theorie
Ein Axiom ist keine vollständige Theorie. Es handelt sich vielmehr um eine bedingende/konditionale Voraussetzung in Form von geistigem Gedankengut für die vollständige Theorie. Es kann der Fall auftreten, dass mehrere Axiome eine Theorie ausmachen. Notwendige Bedingung ist, dass das Axiom auf einem logischen Fundament basiert So Vorgängerversion. Zu beachten ist aber, dass ein Axiom im modernen Sinn letztlich eine willkürliche Behauptung ist.
These
Die These ist ein (Lehr-) Satz, der eines Beweises bedarfRegenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/These. Ein Axiom ist ein Satz, der beweislos vorausgesetzt wird.
Wenn es heißt: ?Axiome unterscheiden sich von Thesen dadurch, dass sie im System nicht ableitbar sind. Thesen hingegen kann man von den Axiomen ableiten?Ruppen, Einstieg in die formale Logik (1996), S. 134, erscheint dies verfehlt: Axiome, die aus einem (axiomatischen) System ableitbar sind, sind auch Axiome, nur überflüssige. Thesen, die aus Axiome ableitbar sind, nennt man herrschend Theoreme, aber nicht alle Thesen müssen aus Axiomen ableitbar sein: sie können auch unabhängig von einem axiomatischen System beweisbar sein.
Regel
Axiome sind Gesetze, keine Regeln. In der neuzeitlichen Axiomatik gibt es zwei Prinzipien: die Axiome und die Regeln. Dies relativiert den Begriff der Ableitbarkeit oder Beweisbarkeit: sie besteht immer nur in Bezug auf ein gegebenes System.Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 79
Die Axiome und die abgeleiteten Aussagen gehören zur Objektsprache, die Regeln zur Metasprache.Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 79
Ableitung, Beweis
?Geht eine Ableitung von den Axiomen eines Kalküls bzw. von wahren Aussagen aus, so spricht man von einem Beweis.?Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Ableitung
Kalkül
Ein Kalkül ist ?ein rein formales Verfahren zur Auszeichnung bzw. Erzeugung gewisser Ausdrücke?
Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Kalkül. ManBußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Kalkül unterscheidet Axiomatische Kalküle, Beweis-Kalküle und Tableau-Kalküle. Axiomatische Kalküle sind Kalküle, die "aus einer Menge von Axiomen und einer möglichst kleinen Menge von Schlussregeln" bestehenBußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Kalkül.
Beispiele
aus der Logik bzw. Metaphysik
* "Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat erfüllen." Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors, das so klar und einfach, so selbstverständlich ist, dass es einen großen Schock bedeutete, als sich herausstellte, dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte.
Satz der IdentitätSpree, in: Rehfus, Handwörterbuch Philosophie (2003)/Axiom
Satz vom Widerspruch
Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Satz des GrundesSpree, in: Rehfus, Handwörterbuch Philosophie (2003)/Axiom
aus der Mathematik
* Die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom definieren die reellen_Zahlen.
Parallelenaxiom: "Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine zu der Geraden parallele Gerade durch diesen Punkt." Dieses Axiom der euklidischen_Geometrie war immer als weniger klar und einleuchtend erschienen als die anderen und es gab viele Versuche, es aus den anderen abzuleiten. Schließlich wurden um die Wende zum 19. Jahrhundert nichteuklidische Geometrien konzipiert, die bewiesen, dass es logisch unabhängig ist.
* "Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n+1." ist ein Axiom der Arithmetik.
aus der Physik
Newtonsche Axiome
* "Der Raum in einem Inertialsystem ist homogen", d. h. es darf keine Rolle spielen, an welcher willkürlich gewählten Stelle im Raum ein Vorgang stattfindet, solange nur alle anderen Rahmenbedingungen gleich sind. In der klassischen Physik folgt direkt aus diesem Axiom die Erhaltung des Impulses.
Siehe auch
Für eine mathematisch präzisere Darstellung siehe Aussagenlogik.
Axiomatisierung
Axiomatisches System
Weblinks
Literatur
Artikel in fachbezogenen Enzyklopädien und Wörterbüchern
* Axiom, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Bd.1, B.I.-Wissenschaftsverlag 1980
* Logical Terms, Glossary of, in: Paul Edwards (Ed.): The Encyclopedia of Philosophy, Vol. 5, Collier Macmillan 1972
* Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe [2005]/Axiom
* Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Anfang, Axiom
* Spree, in: Rehfus, Handwörterbuch Philosophie (2003)/Axiom
* Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Axiom
Monographien
Evandro Agazzi: Introduzione ai problemi dell'assiomatica, Milano 1961
Robert Blanché: Axiomatics, London: Routledge 1962
Euklid: Die Elemente. Reprint, Darmstadt 1962
David Hilbert u.a.: Grundlagen der Geometrie, Teubner 2002, ISBN: 351900237X
Arpad Szabo: Anfänge der griechischen Mathematik, Oldenbourg 1969, ISBN: 3486472011
* Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 73 ff.
* Carnap, Einführung in die symbolische Logik, 3. Aufl. (1968), S. 172 ff.
* Hilbert/Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, 6. Aufl. (1972), S. 24
* Kutschera, Frege (1989), S. 154 f.
* Nagel/Newmann, Der Gödelsche Beweis, in: Meixner, (Hrsg.), Philosophie der Logik (2003), S. 150 (169)
* Tarski, Einführung in die mathematische Logik, 5. Aufl. (1977), S. 126 ff.
Quellen
zh-classical:??
