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Autokorrelation

Allgemeines

Die Autokorrelation ist ein Begriff aus der Statistik und der Signalverarbeitung.

Im statistischen Modell geht man von einer geordneten Folge von Zufallsvariablen aus. Vergleicht man die Folge mit sich selbst, so spricht man von Autokorrelation. Da jede unverschobene Folge mit sich selbst am Ähnlichsten ist, hat die Autokorrelation für die unverschobenen Folgen den höchsten Wert. Wenn zwischen den Gliedern der Folge eine Beziehung besteht, die mehr als zufällig ist, hat auch die Korrelation der ursprünglichen Folge mit der verschobenen Folge in der Regel einen Wert, der signifikant von Null abweicht. Man sagt dann, die Glieder der Folge sind autokorreliert.

In der Signalverarbeitung geht man häufig auch von kontinuierlichen Messdaten aus. Näheres hierzu unter Korrelation. In der Signalverarbeitung spricht man von Autokorrelation, wenn die kontinuierliche oder zeitdiskrete Funktion (z. B. ein- oder mehrdimensionale Funktion über die Zeit oder den Ort) mit sich selbst korreliert wird. Beispielsweise (x(t) mit x(t+Verschiebung).

Genutzt wird die Autokorrelation u. a. in der Regressionsanalyse, der Zeitreihenanalyse und in der Bildverarbeitung.

der Zeitreihe der Tiefen des Huronsees]]
Beispielsweise werden in der Regressionsanalyse die Störgrößen, also die Abweichungen der Beobachtungswerte von der wahren Regressionsgeraden, als Folge von identisch verteilten Zufallsvariablen interpretiert. Damit die Regressionsanalyse sinnvolle Ergebnisse liefert, müssen diese den Erwartungswert Null und gleiche Varianzen haben. Und sie müssen unkorreliert, wenn nicht gar unabhängig sein. Sind sie korreliert, spricht man von Autokorrelation. Man kann die Unkorreliertheit der Störgröße beispielsweise mit dem Durbin-Watson-Test oder anhand eines Korrelogramms überprüfen.

Die Autokorrelation gibt im Gegensatz zur Kreuzkorrelation die Korrelation einer Folge von gleichartigen Zufallsvariablen an. Mit Hilfe der Autokorrelation ist es möglich, Zusammenhänge zwischen den beobachteten Ergebnissen zu verschiedenen Beobachtungszeitpunkten einer Messreihe festzustellen. Die Kreuzkorrelation gibt dagegen die Korrelation zwischen verschiedenen Merkmalen an.

Autokovarianz

Grundlage für die Berechnung der Autokorrelationsfunktion ist die Autokovarianzfunktion. Die Autokovarianzfunktion ist definiert als:

:$\backslash gamma(t\_1,t\_2)=E[(\{Y\_t\}\_1-\{\backslash mu\_t\}\_1)(\{Y\_t\}\_2-\{\backslash mu\_t\}\_2)];\; \backslash qquad\; \backslash gamma(t\_1,t\_2)\backslash in\backslash mathbb\{R\}$

::Hierbei bedeuten:
::

Für einen Standardabweichung zum Zeitpunkt t1
/'>-
|$\backslash sigma\_\{t2\}$ || stationären Prozess ist die Autokovarianz nur vom Zeitunterschied $\backslash tau$ zwischen t1 und t2 abhängig. Die Standardabweichung ist dann unabhängig vom Zeitpunkt, das Produkt der Standardabweichungen im Nenner entspricht dann der Varianz $\backslash sigma\_Y^2$ der Zufallsvariable Y . Für eine Zeitdifferenz $\backslash tau=0$ ist dann die Autokovarianz identisch mit der Varianz. Somit vereinfacht sich die Autokorrelationsfunktion für einen stationären Prozess zu:
:$$
\rho\left(t_1,t_2\right)=\rho_\tau=\frac{\gamma_\tau}{\sigma_Y^2}=\frac{\gamma_\tau}{\gamma_0}

Autokorrelation in der Signalverarbeitung

In der Signalanalyse wird mit dem Begriff Autokorrelationsfunktion meistens die Autokovarianzfunktion bezeichnet.

Hier wird die Autokorrelationsfunktion zur Beschreibung der Korrelation eines Signales mit sich selbst bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen $\backslash tau$ zwischen den betrachteten Funktionswerten eingesetzt. So gilt z. B. für das Zeitsignal x(t):
:$$
R_{xx}(\tau) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x(t) \cdot x(t + \tau) dt


Dieses entspricht der Autokovarianzfunktion für mittelwertfreie, stationäre Signale.

Diese Funktion zeigt Spitzen bei $\backslash tau\; =\; 0$. Dort nimmt sie einen Wert proportional zur mittleren Leistung der Funktion an.

Gibt es Wiederholungen im Signal, so ergeben sich Maxima der Autokorrelationsfunktion bei den Zeitverschiebungen, die der Wiederholungsdauer von Erscheinungen im Signal entsprechen. So können z. B. versteckte periodische Anteile und Echoerscheinungen in Signalen detektiert werden. Der Verlauf ist stets symmetrisch zu $\backslash tau\; =\; 0$ (gerade Funktion).

In der digitalen Signalanalyse wird die Autokorrelationsfunktion in der Regel über die inverse_Fouriertransformation des Autoleistungsspektrums S_XX berechnet; z. B. R_xx($\backslash tau$):
:$$
R_{xx}\left(\tau\right) = \int_{-\infty}^\infty S_{XX}(f) \cdot e^{\mathrm{i} 2 \pi f \tau} \,df

Anwendungen

= Finden von Signalperioden

=
Eine häufige Anwendung der Autokorrelationsfunktion besteht darin, in stark verrauschten_Signalen Periodizitäten zu finden, die nicht ohne weiteres ersichtlich sind:
*Die Autokorrelationsfunktion eines periodischen Signals ist wieder ein periodisches Signal mit der selben Periode. So ist zum Beispiel die Autokorrelationsfunktion eines Kosinussignals
$x(t)=\backslash hat\; x\; \backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash varphi)$
wiederum eine Kosinusfunktion mit derselben Kreisfrequenz $\backslash omega$ (Erhaltung der Signalperiode).
$R\_\{xx\}(\backslash tau)=\backslash frac\{\backslash hat\; x^2\}\{2\}\; \backslash cos(\backslash omega\; \backslash tau)$,
Allerdings ist hierbei die Phaseninformation verloren gegangen.

*Da weißes Rauschen zu einem Zeitpunkt völlig unabhängig von weißem Rauschen zu einem anderen Zeitpunkt ist, ergibt die Autokorrelationsfunktion von weißem_Rauschen einen Dirac-Impuls an der Stelle $\backslash tau\; =0$. Liegt weißes Rauschen der Leistungsdichte $S\_0$ für die Frequenzen $\backslash omega\; =\; -\backslash infty\; ...\; +\backslash infty$ vor, so gilt:
$R\_\{xx\}(\backslash tau)\; =\; S\_0\; \backslash delta(\backslash tau)\backslash ,$
Bei gefärbtem Rauschen, das in technischen Systemen meistens an Stelle von weißem Rauschen vorkommt, ergibt sich ebenso ein absolutes Maximum der Autokorrelationsfunktion bei $\backslash tau=0$ und ein Abfall der Autokorrelationsfunktion für Verschiebungen $/\text{'}>\backslash tau|>0$. Die Breite dieses Maximums wird von der "Farbe" des Rauschens bestimmt.Bei der Analyse von Periodizitäten wird nur die Autokorrelationsfunktion für große Werte von $\backslash tau$ betrachtet und der Bereich um $\backslash tau=0$ ignoriert, da er vor allem Information über die Stärke des Rauschsignals enthält.

= Signal-Rausch-Verhältnis

=
Da der Wert der Autokorrelationsfunktion bei $\backslash tau\; =0$ dem quadratischen Mittelwert (bei Leistungssignalen) bzw. der Signalenergie (bei Energiesignalen) entspricht, kann man durch Bilden der Autokorrelationsfunktion relativ einfach das Betrag dieser normierten Autokorrelationsfunktion kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen.

Siehe auch

Korrelogramm
Partielle Autokorrelationsfunktion
Lock-in-Verstärker
Maximum Length Sequence

su:Autokorélasi

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