Austauschwechselwirkung
Die Austauschwechselwirkung ist eine logische Konsequenz des Pauli-Prinzips, die sich aus demAustausch ununterscheidbarer_Teilchen ergibt. Es handelt sich hierbei nicht um eine Wechselwirkung, die klassisch durch eine Kraft vermittelt würde, sondern um einen rein quantenmechanischen Effekt, der sich jedoch wie eine klassische Wechselwirkung bemerkbar macht.
Vorüberlegungen
Nach dem Pauli-Prinzip ist die Gesamtwellenfunktion , eines Systems von
Fermionen antisymmetrisch, d. h. die Wellenfunktion wechselt bei paarweiser Vertauschung (Austausch) von jeweils zwei Teilchen ihr Vorzeichen: .
Physikalisch bedeutet das Pauli-Prinzip, dass zwei Fermionen
niemals den selben Quantenzustand besetzen.
Bei einer Separation in Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion
fordert die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion bei symmetrischer Ortswellenfunktion eine antisymmetrische Spinwellenfunktion, und umgekehrt. Eine (anti)symmetrische
Spinwellenfunktion kennzeichnet eine paarweise (anti)parallele Spinorientierung. Die Bedeutung einer antisymmetrischen Ortswellenfunktion soll im Beispiel weiter unten veranschaulicht werden.
Heuristische Darstellung der Austauschwechselwirkung
Für die Besetzung möglicher physikalischer
Zustände
ist deren Energieniveau entscheidend. Die Austauschwechselwirkung
berücksichtigt den Einfluss des Pauli-Prinzips auf das
Energieniveau eines Zustands. Unmittelbar hat das Pauli-Prinzip
jedoch keinen Einfluss auf das Energieniveau unterschiedlicher
Zustände. Der energetische Effekt des Pauli-Prinzips ist vielmehr
mittelbarer Natur. Am einfachsten wird dies verdeutlicht anhand
eines Beispiels mit lediglich zwei Fermionen:
Beispiel mit zwei Fermionen
(siehe Diskussion)
In einem solchen System können die beiden Spins parallel oder
antiparallel ausgerichtet sein. Das Pauli-Prinzip ordnet diesen
beiden Konstellationen keinen energetischen Unterschied zu, es
verlangt lediglich, dass die zugehörigen Ortswellenfunktionen
antisymmetrisch, respektive symmetrisch sind.
Bei symmetrischer Wellenfunktion kann es vorkommen, dass man beide Fermionen an
der selben Stelle vorfindet.
Handelt es sich bei den
Fermionen nun um gleichsinnig geladene Teilchen (z. B.
Elektronen, die beide die Elementarladung
tragen), so stoßen sie sich aufgrund der Coulombkraft ab, d. h. je näher sich die Teilchen kommen,
desto energetisch ungünstiger ist der Zustand. Die Elektronen versuchen somit
einen maximalen Abstand einzunehmen.
Bei antisymmetrischer Ortswellenfunktion ist die Wahrscheinlichkeit, beide Fermionen
an der selben Stelle zu finden, null. Dies folgt aus für . Des Weiteren kann man berechnen, dass der durchschnittliche Abstand der beiden Teilchen bei einer antisymmetrischen Ortswellenfunktion
größer ist.
Daher ist bei gleichsinnig geladenen Teilchen eine antisymmetrische Ortswellenfunktion günstiger, die ihrerseits mit einer parallelen Spinorientierung korreliert. D. h. aus der
Kombination des Pauli-Prinzips mit der Coulombabstoßung folgt, dass die Konstellation mit parallelen Spins energetisch günstiger ist.
Dies führt direkt zur Hundschen_Regel und zu der Unterscheidung zwischen Para- und Ortho-Helium
Konsequenzen der Austauschwechselwirkung
Allgemein ist der Überlapp der Wellenfunktionen der einzelnen
Fermionen begrenzt, auch ist ein Verlauf der Ortswellenfunktion
denkbar, der antisymmetrische Lösungen auch für Fermionen liefert,
die an unterschiedlichen Orten lokalisiert sind. Die begünstigte
Spinordnung in einem beliebigen Fermionensystem hängt daher vom
konkreten Verlauf der Wellenfunktion ab. In Festkörpern beobachtet
man unterschiedlichste Spinordnungen, die die magnetischen
Eigenschaften des jeweiligen Festkörpers prägen.
Siehe auch
Magnetische Ordnung, Ferromagnetismus, Antiferromagnetismus, Ferrimagnetismus, Spindichtewelle, Superaustausch
