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Aussageform

Als Aussageform (oder logische Formel) bezeichnet man in der Mathematik eine sprachliche Form, die einer logischen_Aussage ähnelt, in der aber ein oder mehrere Variablen vorkommen. Aussageformen sind keine Aussagen im strengen Sinne, da sie keinen bestimmbaren Wahrheitswert aufweisen. Allgemein gilt, dass durch die Belegung sämtlicher Variablen einer Aussageform mit Konstanten eine Aussage entsteht. So ist etwa 2x + 6 = 10 keine Aussage, aber eine Aussageform. Ersetzt man die Variable x durch eine Zahl, zum Beispiel 2, geht die Aussageform in eine Aussage über.

Mathematische Definition

Aussagenlogik

In der Aussagenlogik ist eine Aussageform syntaktisch gleich gebaut wie eine logische Aussage:

Per Induktion über den Aufbau unterscheidet man
* atomare Formeln (atomare Aussageformen): Diese sind Aussagenvariablen (x,y,...), deren Wahrheitswert möglicherweise nicht bekannt ist.
* zusammengesetzte Formeln (zusammengesetzte Aussageformen): Sind $p,\; q$ Formeln, so auch $\backslash neg\; p,\backslash ,\; p\; \backslash vee\; q,\backslash ,\; p\; \backslash wedge\; q,\backslash ,\; p\; \backslash rightarrow\; q,\backslash ,\; p\; \backslash leftrightarrow\; q$.

Prädikatenlogik

In der Prädikatenlogik (Logik der ersten Stufe) können Aussageformen induktiv über ihren Aufbau definiert werden:

*Wenn $t\_1,\; \backslash ldots,\; t\_k$ Terme sind und $R$ ein $k$-stelliges Relationssymbol, dann gilt
** $t\_1\; =\; t\_2$ ist eine (atomare) Aussageform,
** $R(t\_1,\; \backslash ldots,\; t\_k)$ ist eine (atomare) Aussageform
: mit allen Variablen der Terme als freie Variablen in ihr;
* wenn $\backslash varphi,\; \backslash varphi\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash varphi\_2$ Aussageformen sind, dann gilt
** $\backslash neg\; \backslash varphi$ ist eine (zusammengesetzte) Aussageform,
** $\backslash varphi\_1\; \backslash wedge\; \backslash varphi\_2$ ist eine (zusammengesetzte) Aussageform,
** $\backslash varphi\_1\; \backslash vee\; \backslash varphi\_2$ ist eine (zusammengesetzte) Aussageform;
** $\backslash varphi\_1\; \backslash rightarrow\; \backslash varphi\_2$ ist eine (zusammengesetzte) Aussageform,
** $\backslash varphi\_1\; \backslash leftrightarrow\; \backslash varphi\_2$ ist eine (zusammengesetzte) Aussageform;
: mit allen freien Variablen der $\backslash varphi\_i$ als freie Variablen
* wenn $x$ eine freie Variable in einer Aussageform $\backslash varphi$ ist, dann gilt
** $\backslash exists\; x\; \backslash varphi$ ist eine (zusammengesetzte) Aussageform,
** $\backslash forall\; x\; \backslash varphi$ ist eine (zusammengesetzte) Aussageform
: mit allen freien Variablen von $\backslash varphi$ außer $x$ als freie Variablen.Beachte, dass eine Aussageform freie Variablen enthalten darf. Im engeren Sinn muss eine Aussageform mindestens eine freie Variable enthalten.

Anmerkungen

# Manchmal werden bei den atomaren Aussageformen auch die Wahrheitswerte $\backslash top$ (wahr) und $\backslash bot$ (falsch) zugelassen.
# Manchmal findet man in der Literatur, dass in der Definition der Syntax zur Bildung der Aussageform nur eine Teilmenge der Junktoren $(\backslash neg,\; \backslash vee,\; \backslash wedge,\; \backslash rightarrow,\; \backslash leftrightarrow)$ zugelassen ist, darunter auf jeden Fall $\backslash neg$. Die übrigen Junktoren werden dann meistens aus diesen abgeleitet und als Abkürzung gewertet.
# Durch eine Belegung aller freien Variablen wird aus der Aussageform eine logische Aussage.

Abgrenzung

Im Gegensatz zur (mathematischen)_Formel sind also Relationen, logische_Junktoren und die Quantifikation erlaubt.

Im Gegensatz zur logischen_Aussage sind freie Variablen erlaubt.

Im Gegensatz zum Typ eines Tupels in einer logischen_Struktur ist die Aussageform eine rein syntaktische Darstellung, die unabhängig von einem Modell definierbar ist. Formal ist ein Typ eine Aussageform.

Deutung

Aussageformen mit einer freien Variablen werden oft so verstanden, dass sie Begriffe und Eigenschaften ausdrücken ("x ist ein Mensch", "x ist rosa").

Aussageformen mit mehreren freien Variablen werden oft als Relationen aufgefasst, zum Beispiel "x ist größer als y", "x und y haben ein gemeinsames Kind z", "x + 1 = y und y + 1 = z".

Siehe auch

Logische Aussage, Typ (Modelltheorie), Term, Signatur (Modelltheorie), Aussagenlogik, Prädikatenlogik

Weblinks

* http://mathworld.wolfram.com/SententialFormula.html

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