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Ausreißertest nach Grubbs

Der Ausreißertest nach Grubbs ist ein statistischer Test, der dazu verwendet wird, Ausreißer in einer gegebenen Stichprobe zu entdecken.

Grundvoraussetzung für die Anwendung des Grubbs-Tests ist die Annahme, dass die Daten $X\_1,\; \backslash ldots\; X\_n$ annähernd normalverteilt sind. Dies müsste also vorher durch einen Test auf Normalverteilung überprüft werden, zum Beispiel mit dem Chi-Quadrat-Test. Danach wird aus der Stichprobe die Teststatistik

:$G=\backslash frac\{\backslash max\}\{S\_n\}$

berechnet, in der

$\backslash bar\{X\}\; =\; \backslash frac\; 1n\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; X\_i$ den t-Verteilung dargestellt werden kann. Konsequenterweise wird der Test zum Signifikanzniveau $\backslash alpha\backslash ;$ abgelehnt, falls $G\; >\; z\_\{\backslash alpha\}\backslash ;$ mit

:$z\_\backslash alpha=\; \backslash frac\{n-1\}\{\backslash sqrt\; n\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{t^2\_\{\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2n\},n-2\}\}\{n-2+t^2\_\{\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2n\},n-2\}\}\}$

gilt. Dabei bezeichnet $t\_\{\backslash beta,m\}\backslash ;$ allgemein den kritischen_Wert einer t-Verteilung mit $m$ Freiheitsgraden zum Niveau $\backslash beta$.

Sofern der Test tatsächlich einen Ausreißer entdeckt, wird das fragliche Datum aus der Stichprobe entfernt und ein neuer Grubbs-Test mit $n-1\backslash ;$ Daten in der restlichen Probe durchgeführt. Dies sollte so lange geschehen, bis mit Hilfe des Tests keine Ausreißer mehr entdeckt werden können.

Eine Variante des Grubbs-Tests besteht darin, nur Ausreißer nach oben oder nach unten entdecken zu wollen. Dies wird dadurch realisiert, dass man an Stelle von $\backslash max$ nur $\backslash max\; X\_i-\backslash bar\{X\}$ bzw. $\backslash bar\{X\}-\backslash min\; X\_i$ betrachtet und den kritischen Wert der Teststatistik von $t\_\{\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2n\},n-2\}$ auf $t\_\{\backslash frac\{\backslash alpha\}\{n\},n-2\}$ anpasst.

Quellen

* Frank E. Grubbs: Sample Criteria for Testing Outlying Observations. Annals of Mathematical Statistics, Vol. 21, No. 1 (Mar., 1950), pp. 27-58
* Frank E. Grubbs: Procedures for detecting outlying observations in samples. Technometrics 11(1):1?21. Februar 1969.
* Carroll Croarkin und Paul Tobias (Hrsg.). [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/ NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods]. Siehe besonders [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35h.htm Kapitel 1.3.5.17. Grubbs' Test for Outliers].
* DIN 53 804 Teil 1 Statistische Auswertungen - Meßbare (kontinuierliche) Merkmale Abs. 8.2 Ausreißertest nach Grubbs, September 1981
* DIN ISO 5725 Teil 2, Genauigkeit (Richtigkeit und Präzision) von Meßverfahren und Meßergebnissen - Ein grundlegendes Verfahren für die Ermittlung der Wiederhol- und Vergleichpräzision von festgelegten Meßverfahren, Abs. 14.4 Grubbs' test, Entwurf Februar 1991

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