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Ausmultiplizieren

Das Ausmultiplizieren ist eine mathematische Methode zur Umformung von Termen, mit der sich ein Produkt in eine Summe oder Differenz verwandeln lässt. Grundlage für solche Umformungen ist das Distributivgesetz.

Im einfachsten Fall ist einer der Faktoren ein einfacher Term, der andere eine Summe oder Differenz, die in einer Klammer steht. Dann ist der einfache Term mit jedem Glied der Summe oder Differenz zu multiplizieren.

Beispiele:

:$5\backslash cdot\; (4\; +\; 6)\; =\; 5\; \backslash cdot\; 4\; +\; 5\; \backslash cdot\; 6\; =\; 20\; +\; 30$

:$3a^2b\; \backslash cdot\; (4a\; -\; 5b)\; =\; 3a^2b\; \backslash cdot\; 4a\; -\; 3a^2b\; \backslash cdot\; 5b\; =\; 12a^3b\; -\; 15a^2b^2$

Ein komplizierterer Fall liegt vor, wenn eine Summe (in einer Klammer) mit einer anderen Summe (ebenfalls in einer Klammer) multipliziert werden soll. Hier ist jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer zu multiplizieren. Entsprechendes gilt für Differenzen in den Klammern.

Beispiel:

:$(2a\; +\; 3b)\; \backslash cdot\; (4a\; -\; 5c)\; =\; 2a\; \backslash cdot\; 4a\; -\; 2a\; \backslash cdot\; 5c\; +\; 3b\; \backslash cdot\; 4a\; -\; 3b\; \backslash cdot\; 5c$
= 8a^2 - 10ac + 12ab - 15bcAuch die Richtigkeit der binomischen_Formeln lässt sich durch Ausmultiplizieren überprüfen.

Beispiel:

:$(a+b)\backslash cdot\; (a-b)=\; a\; \backslash cdot\; a\; -\; a\; \backslash cdot\; b\; +\; b\; \backslash cdot\; a\; -\; b\; \backslash cdot\; b\; =\; a^2\; -\; ab\; +\; ab\; -\; b^2\; =\; a^2-b^2$

Herleitung

Die Vorgehensweise erklärt sich durch die Definition der Multiplikation als wiederholte Addition.

:$n\; \backslash cdot(a\; +\; b)\; =\; \backslash underbrace\{(a+b)+(a+b)+\backslash cdots+(a+b)\}\_\{\backslash rm\; n-mal\}\; =\; \backslash underbrace\{a\; +\; a\; +\; \backslash cdots\; +\; a\}\_\{\backslash rm\; n-mal\}\; +\; \backslash underbrace\{b\; +\; b\; +\; \backslash cdots\; +\; b\}\_\{\backslash rm\; n-mal\}\; =\; n\; \backslash cdot\; a\; +\; n\; \backslash cdot\; b$Einsetzen von $(c+d)$ für $n$ ergibt:

:$(a\; +\; b)\; \backslash cdot\; (c\; +\; d)\; =\; a\; \backslash cdot\; (c\; +\; d)\; +\; b\; \backslash cdot\; (c\; +\; d)\; =\; a\; \backslash cdot\; c\; +\; a\; \backslash cdot\; d\; +\; b\; \backslash cdot\; c\; +\; b\; \backslash cdot\; d$

Siehe auch

*Ausklammern
*Klammerregel

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