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Delta-Distribution

Die Delta-Distribution (auch ?-Funktion; Dirac-Funktion, -Impuls, -Puls, -Stoß; Stoßfunktion; sowie Einheitsimpulsfunktion genannt) wird in der Naturwissenschaft durch ein kleines Delta ? dargestellt und symbolisiert eine spezielle Distribution, die in der Mathematik und Physik von grundlegender Bedeutung ist.

Anschauliche Definition

Die Delta-Distribution soll eine Funktion darstellen, die folgendermaßen definiert ist:
:$\backslash delta\; (x)=\backslash begin\{cases\; [\backslash delta(x\; -\; \backslash alpha)+\; \backslash delta(x\; +\; \backslash alpha)\; ]$

*Dimension

Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die Dimension bzw. Maßeinheit der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der reziproken Dimension ihres Arguments. Hat $x$ beispielsweise die Dimension einer Länge, so hat $\backslash delta(x)$ die Dimension (1/Länge).

Anschauliche Darstellung

Anschaulich stellt man sich die Delta-Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor, deren Fläche den Grenzwert 1 besitzt. Am Ende dieses Gedankenexperiments erhält man einen Graphen, den man wegen der unendlichen Amplitude nicht mehr zeichnen kann. Der rote senkrechte Pfeil in der Abbildung deutet wie üblich an, dass sich die Linie in dieser Richtung unendlich fortsetzt.

Dieser Grenzwert, als Integral geschrieben, lautet (Diracsche Deltafunktion):
:$\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{-\backslash infty\}\backslash delta(t)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}t=1$

Es existieren auch mehrdimensionale Dirac-Distributionen, diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen Keulen mit dem Volumen 1.

Praktische Anwendung

Praktische Bedeutung hat der Dirac-Stoß bei der Ermittlung der Impulsantwort in der Akustik. So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Mit einem Dirac-Impuls (angenähert durch ein Klatschen mit den Händen) kann dieses Verhalten (durch Messen des ?Echos?, also der Systemantwort) ermittelt werden.

Typische, technisch realisierbare Dirac-Werte:

Hochspannungstechnik ca. 1?100 ns Halbwertsbreite
Hochfrequenztechnik ca. 10?100 ps Halbwertsbreite
Laserpulstechnik ca. 10?100 fs Halbwertsbreite

Darstellungen

Eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta-Distribution ist

:$\backslash delta(x-a)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{\backslash mathrm\{i\}k(x-a)\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}k\; \backslash quad\; =\; \backslash quad\; \backslash lim\_\{\backslash kappa\backslash to\; \backslash infty\}\backslash frac\{\backslash sin(\backslash kappa\; (x-a))\}\{\backslash pi\; (x-a)\},$

wobei das Gleichheitszeichen nur unter passender Faltung mit einer Testfunktion richtig wird. Sehr anschaulich ist zum Beispiel

:$\backslash delta(x-a)=\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\; \backslash varepsilon\}\}\; e^\{-\backslash frac\{(x-a)^2\}\{\backslash varepsilon\}\},$

vorstellbar als eine Folge von Gaußverteilungen, deren Schwerpunkt bei $a$ liegt und deren Höhe mit der Wurzel der fallenden Halbwertsbreite wächst. Das Gleichheitszeichen gilt wieder nur bei Faltung mit einer Testfunktion und formeller Vertauschung von Grenzwert und Integration vor allen anderen Rechnungen. Weiterhin gibt es die Darstellung mit Hilfe von Lorentzkurven,

:$\backslash delta(x-a)=\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash varepsilon\}\{(x-a)^2+\backslash varepsilon^2\},$

wobei für das Gleichheitszeichen dasselbe wie bei den Gaußverteilungen gilt. Eine weitere Darstellungsform ist die Fresnel-Darstellung

:$\backslash delta(x-a)=\backslash lim\_\{\backslash alpha\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash alpha\}\{i\backslash pi\}\}\backslash ;\; e^\{i\backslash alpha\; (x-a)^2\},$

die man sich vorstellen kann als eine Linie, die auf einen Zylinder gewickelt ist, und deren Wicklungen durch das $x^2$ immer enger werden; die Grundfläche (in x-y-Ausrichtung) des Zylinders wird aus dem Imaginär- und Realteil der Funktion gebildet, die Funktion entwickelt sich dann in z-Richtung. Ebenfalls eine gültige Darstellung der Delta-Funktion ist die Mesa-Darstellung

:$\backslash delta(x-a)=\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\backslash to\; 0\}\backslash frac\{1\}\{2\backslash varepsilon\}\backslash left(\backslash varepsilon^2\; -\; (x-a)^2\backslash right),$

die man sich als zwei Heavisidesche Sprungfunktionen darstellen kann, die sich in einem Abstand von $|\backslash varepsilon|$ um den Punkt der Sprungfunktion befinden.

Siehe auch

Kronecker-Delta, Distribution (Mathematik), Diracmaß

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