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Ortsvektor

Als Ortsvektor bezeichnet man in der Mathematik und Physik einen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu einem bestimmten Punkt, dem Aufpunkt, zeigt. Der Ortsvektor wird auch als Aufpunktvektor oder Radiusvektor bezeichnet. Der Vorteil eines Ortsvektors besteht darin, daß mit seiner Hilfe die Position des Aufpunktes ohne Festlegung auf ein bestimmtes Koordinatensystem dargestellt werden kann.

Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen

Der durch einen Ortsvektor beschriebene Aufpunkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems beschrieben werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den Koordinatenursprung gelegt wird.

Kartesische Koordinaten

Üblicherweise wird der Ortsvektor in kartesischen_Koordinaten in der Form

:$\backslash vec\; r\; =\; \backslash vec\; r\backslash ,(x,y,z)\; =\; \backslash begin\{pmatrix\backslash ,.$

Kartesische Koordinaten

:$$
\vec e_x = \frac{\frac{\partial \vec r = \begin{pmatrix = \begin{pmatrix = \begin{pmatrix = \begin{pmatrix = \begin{pmatrix = \begin{pmatrix = \begin{pmatrix = \begin{pmatrix = \begin{pmatrix} -\sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0\end{pmatrix}.


Die Basisvektoren $\backslash vec\; e\_r$, $\backslash vec\; e\_\backslash vartheta$ und $\backslash vec\; e\_\backslash varphi$ sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Wegelement

Ein Wegelement oder Linienelement $\backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; s$ kann als totales Differential $\backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; r$ des Ortsvektors dargestellt werden. Allgemein ergibt sich für das vektorielle Wegelement bei Verwendung der Koordinaten $k\_i\backslash ,$:

:$\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; s\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; r\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash vec\; r\}\{\backslash partial\; k\_i\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}k\_i\backslash ,.$

Mit der obenstehenden Gleichung für die Basisvektoren kann man auch schreiben

:$\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; s\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; r\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash vec\; e\_\{k\_i\}\; \backslash left/\text{'}>\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash vec\; r\}\{\backslash partial\; k\_i\}\; \backslash right|\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}k\_i\backslash ,.$

Die Beträge der Ableitungen des Ortsvektors $\backslash vec\; r$ nach den Koordinaten $k\_i\backslash ,$ heißen metrische Koeffizienten

:$g\_\{k\_i\}\; =\; \backslash left|\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash vec\; r\}\{\backslash partial\; k\_i\}\; \backslash right|.$

Damit kann man das vektorielle Wegelement in der Form

:$\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; s\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; r\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash vec\; e\_\{k\_i\}\backslash ,g\_\{k\_i\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}k\_i$

darstellen. Für die bisher betrachteten Koordinatensysteme ergeben sich daraus die folgenden Darstellungsformen:

* Kartesische Koordinaten:
:$\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; s\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; r\; =\; \backslash vec\; e\_x\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; +\; \backslash vec\; e\_y\backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; +\; \backslash vec\; e\_z\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z\; \backslash ,,$

* Zylinderkoordinaten:
:$\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; s\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; r\; =\; \backslash vec\; e\_R\backslash ,\backslash mathrm\{d\}R\; +\; \backslash vec\; e\_\backslash varphi\backslash ,R\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\; +\; \backslash vec\; e\_z\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z\; \backslash ,,$

* Kugelkoordinaten:
:$\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; s\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; r\; =\; \backslash vec\; e\_r\backslash ,\backslash mathrm\{d\}r\; +\; \backslash vec\; e\_\backslash vartheta\backslash ,r\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash vartheta\; +\; \backslash vec\; e\_\backslash varphi\backslash ,r\backslash ,\backslash sin\backslash vartheta\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\; \backslash ,.$

Physik

In der Entfernung des Punktes vom Ursprung, da der Betrag gerade die Länge des Vektors ist.

Die Ableitung des Ortsvektors $\backslash vec\; r(t)$ nach der Zeit t ergibt den Geschwindigkeitsvektor $\backslash vec\; v(t)\; =\; \backslash dot\; \backslash vec\; r(t)$; durch nochmalige Ableitung ergibt sich der Beschleunigungsvektor $\backslash vec\; a(t)\; =\; \backslash dot\; \backslash vec\; v(t)\; =\; \backslash ddot\; \backslash vec\; r(t)\backslash ,.$

Trajektorie

Als Trajektorie bezeichnet man den Weg, auf dem sich ein Punkt (z.B. der Schwerpunkt eines Körpers) bewegt. Wenn man die Position eines Punktes durch einen Ortsvektor $\backslash vec\; r(t)$ beschreibt, der von einem Parameter t (z.B. der Zeit) abhängt, so beschreibt die Abbildung $t\; \backslash mapsto\; \backslash vec\; r(t)$ bei Variation von t eine Trajektorie, d.h. zu jedem Wert von t gibt es einen bestimmten Punkt im Raum. Die Menge aller Punkte des Weges heißt Kurve, hier speziell Bahnkurve.

Wenn beispielsweise $\backslash vec\; r(t)$ die zeitabhängige Bewegung eines Punktes beschreibt, so ergibt sich für die Länge des zwischen den Zeitpunkten t₁ und t₂ zurückgelegten Weges:
:$s\_\{1,2\}\; =\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash left|\backslash dot\backslash vec\; r(t)\backslash right|\backslash ,\backslash mathrm\{d\}t\; =\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash left|\backslash vec\; v(t)\backslash right|\backslash ,\backslash mathrm\{d\}t\; \backslash ,.$

Himmelsmechanik

In der Himmelsmechanik wird der Orts- oder Radiusvektor verwendet, um die Position eines Himmelskörpers bezogen auf das Schwerezentrum anzugeben, um welches er sich auf einer Umlaufbahn bewegt. Der Radiusvektor liegt hierbei stets in Richtung der Gravitationslinie.

Siehe auch

Einheitsvektor
Koordinaten
Frenetsche Formeln

Literatur

* Alexander Heigl: [http://www.tep.ei.tum.de/page/mainpages/lehre/vorlesung/e-lehre/pdf/me_2006.pdf Mathematische Einführung in die Elektrizitätslehre] (PDF, 649 kB). Lehrstuhl für Technische Elektrophysik, Technische Universität München. 18.10.2006.
* Klaus Desch: [http://www.desy.de/~desch/mathe2/blobelskript/kap11.pdf Mathematische Ergaenzungen zur Physik II, Kapitel 11: Vektoranalysis] (PDF, 210 kB). Institut für Experimentalphysik, Hamburg.

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