Auflösbare Gruppe
In der Geschichte der Mathematik liegen die Ursprünge der Gruppentheorie unter anderem in der Suche nach dem Beweis der Nichtexistenz einer generellen Darstellung der Lösung von Gleichungen fünften oder höheren Grades mittels (n-ter) Wurzeln. Dieser Beweis konnte schließlich im Rahmen der Galoistheorie erbracht werden.Der Begriff der auflösbaren Gruppe entstand als Bezeichnung einer Eigenschaft, welche
die Galoisgruppen von solchen Polynomen teilen, deren Wurzeln als Radikale (Quadratwurzel, Kubikwurzel, usw.) und deren Summen und Produkte dargestellt werden können, dabei sind auch die Wurzeln aus Wurzelsummen etc. zugelassen.
Eine Gruppe wird als auflösbar bezeichnet, falls sie eine Subnormalreihe hat, in der alle Faktorgruppen abelsch sind. Eine andere Definition fordert, dass die Reihe der abgleiteten Gruppen, die durch fortgesetzte Kommutatorgruppenbildung entsteht, schließlich bis zur Einsgruppe absteigt. Beide Definitionen und deren Gleichwertigkeit werden im Artikel ?Reihe (Gruppentheorie)? erläutert.
Für eine endliche Gruppe ist dies äquivalent dazu, dass sie eine Subnormalreihe besitzt, deren
Faktoren alle zyklische Gruppen mit einer Primzahl als Ordnung sind. Diese Äquivalenz
ergibt sich daraus, dass jede endliche einfache abelsche Gruppe zyklisch mit einer Primzahl als Ordnung sind. Der Satz_von_Jordan-Hölder sagt aus, dass alle Subormalreihen der Gruppe diese Eigenschaft haben, wenn eine Subnormalreihe sie hat. Für die oben angeführten Galoisgruppen entsprechen diese zyklischen Gruppen einfach den Erweiterungen durch ein Radikal.
Nach der Wendung von George Polya, "Falls man ein Problem nicht lösen kann, dann gibt es ein einfacheres Problem das man lösen kann!", sind auflösbare Gruppen oft hilfreich um eine Behauptung über eine komplizierte Gruppe auf eine Behauptung über eine Reihe von Gruppen mit einfacherer Struktur, hier den zyklischen Gruppen mit Primzahlordnung zurückzuführen.
Alle abelschen Gruppen sind auflösbar (mit einer Subormalreihe, die nur aus zwei Untergruppen besteht). Nicht-abelsche Gruppen
sind im allgemeinen nicht auflösbar.
Ein Beispiel einer auflösbaren, nicht-abelschen Gruppe ist die symmetrische Gruppe S3. Die kleinste nicht auflösbare Gruppe ist die alternierende Gruppe A5.
Die Gruppe S5 und allgemeiner Sn für n>4 ist nicht auflösbar.
Das ist ein Baustein für die Frage nach der Lösbarkeit von Gleichungen vom Grad n.
Eigenschaften
* Ist G auflösbar und H eine Untergruppe von G, dann ist auch H auflösbar.
* Ist G auflösbar und H ein Normalteiler von G, dann ist auch G/H auflösbar.
* Ist G auflösbar und gibt es einen Homomorphismus von G auf H, dann ist H auflösbar.
* Ist H und G/H auflösbar, so auch G
* Ist G und H auflösbar, so auch ihr direktes Produkt G × H.
Superauflösbare Gruppe
Eine schärfere Form der Auflösbarkeit ist die der Superauflösbarkeit.
Eine Gruppe G ist superauflösbar, falls sie eine invariante Subnormalreihe hat, deren
Faktoren zyklisch sind.
Literatur
* Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9
