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Auerbachbasis

Eine Auerbachbasis ist eine linear unabhängige Teilmenge eines
normierten_Vektorraums mit speziellen Eigenschaften.

Definition

Sei $X$ ein normierter_Vektorraum. Eine Menge $A\; \backslash subseteq\; X$ heißt Auerbachbasis von X, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* Die lineare Hülle der Menge $A$ liegt dicht in X.
* Für jedes $a\backslash in\; A$ gilt $\backslash |a\backslash |\; =\; \backslash inf\backslash \{\; \backslash |a\; -\; b\backslash |:\; b\; \backslash in\; [\; A\; \backslash setminus\; \backslash \{a\backslash \}]$, wobei $[B]$ der Abschluss der linearen Hülle der Menge $B$ sein soll.
* Die Menge $A$ ist linear unabhängig. (Diese Bedingung folgt aus der vorigen; es muss sogar für alle $x\backslash in\; A$ die Beziehung $x\backslash notin\; [A\; \backslash setminus\backslash \{x\backslash \}]$ gelten.)

Eine Auerbachbasis $A$ heißt normierte Auerbachbasis, wenn alle Vektoren der Menge $A$ Länge 1 haben.

Motivation und Geschichte

In jedem endlichdimensionalen Hilbertraum gilt die Gleichung
:$\backslash /\text{'}>x\backslash |\; =\; \backslash inf\backslash \{\; \backslash |x\; -\; y\backslash |:\; y\; \backslash in\; [\; B\; ]\backslash \}$
genau dann, wenn der Vektor $x$ auf den durch $B$ erzeugten Teilraum normal steht. In diesem Sinn ist
der Begriff der normierten Auerbachbasis eine Verallgemeinerung des Begriffs der Kronecker-Delta.
#*$\backslash /\text{'}>f\_a\backslash |\; =\; 1$ für alle $a\backslash in\; A$.

Zum Beweis verwendet man den        VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE