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Singularität (Mathematik)

Eine Singularität bezeichnet in der Mathematik eine Stelle, an der ein mathematisches Objekt, z. B. eine holomorphe Funktion, ein ungewöhnliches Verhalten zeigt. An diesen Stellen kommt man mit den normalen Methoden nicht weiter. Singularitäten treten im Reellen sowie im Komplexen auf. Die erste Kategorisierung von Singularitäten findet man in der Funktionentheorie,
dort sind es immer isolierte Singularitäten. Im Mehrdimensionalen brauchen Singularitäten nicht mehr isoliert zu sein.

Singularitäten komplexer Funktionen

Es sei $\backslash Omega\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\; C$ eine offene Teilmenge, $z\_0\; \backslash in\; \backslash Omega$, ferner sei $f$ eine auf $\backslash Omega\; \backslash setminus\; \backslash \{z\_0\; \backslash \}$ holomorphe komplexwertige Funktion, also $f:\; \backslash Omega\; \backslash setminus\; \backslash \{z\_0\backslash \}\; \backslash to\; \backslash mathbb\; C$
(das heißt, $z\_0$ ist ein isolierter_Punkt).

Dann heißt $z\_0$ isolierte Singularität von f.

Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an:
* $z\_0$ heißt hebbare Singularität, wenn $f$ auf $\backslash Omega$ holomorph fortsetzbar ist. Nach dem Riemannschen_Hebbarkeitssatz ist dies z.B. dann der Fall, wenn $f$ in einer Umgebung von $z\_0$ beschränkt ist.
* $z\_0$ heißt Polstelle oder Pol, wenn $z\_0$ keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl $k$ gibt, so dass $(z-z\_0)^k\backslash cdot\; f(z)$ eine hebbare Singularität bei $z\_0$ hat. Ist das $k$ minimal gewählt, dann sagt man, $f$ habe in $z\_0$ einen Pol $k$-ter Ordnung.
* Andernfalls heißt $z\_0$ eine wesentliche Singularität von $f$.

Hebbare Singularitäten und Polstellen werden auch unter dem Begriff außerwesentliche Singularität zusammengefasst.

Der Typ der Singularität lässt sich auch an der Laurentreihe
: $\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; a\_n(z-z\_0)^n$
von $f$ in $z\_0$ ablesen:
* Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet, d.h. $a\_n=0$ für alle negativen ganzen Zahlen $n$.
* Ein Pol $k$-ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach $k$ Gliedern abbricht, d.h. $a\_n=0$ für alle .
* Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden.

Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der Große_Satz_von_Picard und
als einfacherer Spezialfall davon der Satz von Casorati-Weierstrass.

Beispiele

Es sei $\backslash Omega=\backslash mathbb\; C$ und $z\_0=0.$
* $f\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}\backslash to\backslash mathbb\; C,z\backslash mapsto\; z+3$ kann durch $f(0)=3$ stetig auf $\backslash Omega$ fortgesetzt werden, also hat $f$ bei 0 eine hebbare Singularität.
* $f\backslash colon\; \backslash Omega\backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}\backslash to\backslash mathbb\; C,z\backslash mapsto\; \backslash frac\{1\}\{z\}$ hat bei $0$ einen Pol 1. Ordnung, weil $g(z)=z^1\backslash cdot\; f(z)$ durch $g(0)=1$ stetig auf $\backslash Omega$ fortgesetzt werden kann.
* $f\backslash colon\; \backslash Omega\backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}\backslash to\backslash mathbb\; C,z\backslash mapsto\backslash exp\backslash left(\backslash frac\{1\}\{z\}\backslash right)$ hat bei $0$ eine wesentliche Singularität, weil $x^k\; \backslash exp\backslash left(\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash right)$ für $x\backslash searrow0$ für festes $k\backslash in\backslash mathbb\; N$ stets unbeschränkt ist bzw. weil in der Laurentreihe um $z\_0$ unendlich viele Glieder nicht verschwinden, denn es gilt $f/\text{'}>\_\backslash Omega(z)=\backslash sum\backslash limits\_\{n=0\}^\{-\backslash infty\}\backslash frac\{z^n\}\{(-n)!\}$.

Singularitäten algebraischer Varietäten

Ein Punkt $x$ einer Schemas heißt singulär oder eine Singularität, wenn der zugehörige lokale_Ring nicht regulär ist. Für abgeschlossene Punkte algebraischer Varietäten ist dies äquivalent dazu, dass die Dimension des Zariski-Tangentialraumes größer als die Dimension der Varietät ist.

Andere Singularitäten

Attraktoren
singuläre_Matrizen

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