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Atiyah-Bott-Fixpunktsatz

Der Atiyah?Bott-Fixpunktsatz, wurde 1966 von Michael Atiyah und Raoul Bott bewiesen und verallgemeinert den Fixpunktsatz von Lefschetz für glatte (das heisst differenzierbare) Mannigfaltigkeiten M. Er benutzt einen elliptischen Komplex auf M, das heisst ein System elliptischer Differentialoperatoren auf Vektorbündeln, das den aus Differentialformen gebildeten de Rham Komplex aus dem ursprünglichen Fixpunktsatz von Lefschetz verallgemeinert.

Formulierung

Man sucht das Pendant für die Lefschetz Zahl, die im klassischen Fixpunktsatz den Beitrag eines Fixpunktes einer stetigen Abbildung

:f:M ? M.

zählt. Die Fixpunkte sind die Schnittpunkte des Graphs der Funktion f mit der Diagonale (Graph der identischen Abbildung) in M x M, und die Lefschetz-Zahl ist die Schnittzahl. Im Atiyah-Bott Fixpunktsatz wird der lokale Beitrag der Fixpunkte durch eine topologische Invariante ausgedrückt. Dabei sollte eine Überprüfung der Transversalitätseigenschaften des Graphen sicherstellen, dass die Fixpunkte isoliert sind (also Punkte). Weiter sollte M geschlossen sein, so dass die Schnittmengen endlich sind und die Summation über die Fixpunkte endlich ist.
Der elliptische Komplex der Vektorbündel E_j, besteht aus einer Bündel- Abbildung

:?_j:f⁻¹ E_j ? E_j

für jedes j, so dass die resultierenden Abbildungen auf den Sektionen des Bündels zu einem Endomorphismus T des Komplexes führen. Solch ein T hat die Lefschetz Zahl

:L(T)

definiert als alternierende Summe (wechselnde Vorzeichen) der Spuren (im Sinne der linearen Algebra) des Endomorphismus in den Homologieklassen des Komplexes.

Der Fixpunktsatz lautete dann

:L(T) = ? (? (−1)^j Spur ?_j,x)/?(x).

Wobei Spur ?_j,x die Spur von ?_j, an einem Fixpunkt x von f meint, und ?(x) die Determinante des Endomorphismus ( I − Df ) bei x, mit Df der Ableitung von f (deren Nichtverschwinden ist Folge der Transversalität). Die äußere Summation ist über die Fixpunkte x, die innere über den Index j des elliptischen Komplexes.

Schränkt man das Theorem auf den de Rham Komplex der Differentialformen ein, ergibt sich der alte Lefschetz-Fixpunktsatz. Eine Anwendung des Atiyah-Bott Satzes ist die Ableitung der Weyl Charakter Formel für die Darstellung von Liegruppen.

Geschichte

Die frühe Geschichte ist mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz verbunden. Im engeren Sinn entstanden die ersten Ideen auf einer Konferenz 1964 in Woods Hole (deshalb auch Woods Hole Fixpunktsatz genannt). Anscheinend stammt der ursprüngliche Anlass aus einer Bemerkung von Martin Eichler über den Zusammenhang von Fixpunktsätzen und automorphen Formen, was Goro Shimura auf der Konferenz Raoul Bott erläuterte. Er vermutete die Existenz eines Lefschetz Fixpunktsatzes für holomorphe Abbildungen.

Literatur

*Atiyah, Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators. Bull. Am. Math. Soc. Bd. 72, 1966, S.245-50. (Ankündigung)
*dies. A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes, Annals of Mathematics, 2.Series, Bd.86, 1967, S.374-407, A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I, Annals of Mathematics Bd.88, 1968, S.451-491 (Beweise und Anwendungen)

Weblinks

• Abschnitt in Aufsatz über Botts Werk von Tu, englisch
• Treffen zum 35.Geburtstag des Theorems in Woods Hole, englisch
• Vortrag von McPherson zur Woods Hole Konferenz, englisch