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Asymptotische Folge

In der Analysis ist eine asymptotische Folge ein Grundbaustein einer asymptotischen_Analyse. Die asymptotische Folge definiert den Ansatzraum einer asymptotischen_Entwicklung und bestimmt damit die möglichen Ergebnisse der Analyse.

Eine endliche oder unendliche Folge $(\backslash phi\_n)$ von Funktionen auf dem Gebiet $\backslash Omega$ heißt asymptotisch für $x\; \backslash to\; x\_0$, wenn

:$\backslash phi\_\{n+1\}(x)\; =\; \backslash hbox\{o\}(\backslash phi\_n(x)),\; \backslash ;\; x\; \backslash to\; x\_0$,

mit der Landau-Notation. Bei unendlichen Folgen spricht man von einer gleichmäßigen asymptotischen Folge in n, falls $\backslash phi\_\{n+1\}=\; \backslash hbox\{o\}(\backslash phi\_n)$ gleichmäßig in n gilt, beziehungsweise von einer gleichmäßigen asymptotischen Folge in den Parametern, falls die Folge von einem Parameter $\backslash epsilon$ abhängt und $\backslash phi\_\{n+1\}\; =\; \backslash hbox\{o\}(\backslash phi\_n)$ gleichmäßig in den Parametern gilt.

Beispiele

*Die Folge der reellen Funktionen $\backslash phi\_n\; =\; x^n$ für $x\backslash to\; 0$.
*Die Folge der reellen Funktionen $\backslash phi\_n\; =\; x^\{-\backslash lambda\_n\}$ mit $\backslash lambda\_\{n+1\}>\backslash lambda\_n$ für $x\backslash to\; \backslash infty$.

Eigenschaften

Eine Teilfolge einer asymptotischen Folge ist ebenfalls asymptotisch, ebenso liefert das potenzieren der kompletten Folge mit einer positiven Zahl wieder eine asymptotische Folge.

Literatur

* Erdélyi, A.: Asymptotic Expansions, New York: Dover, 1987.

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