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Assoziiertheit

Die Assoziiertheit ist ein Begriff aus der Teilbarkeitslehre in der Mathematik. Zwei Elemente a und b heißen assoziiert, wenn sie wechselseitig teilbar sind, wenn also ?a teilt b? und ?b teilt a? gleichzeitig erfüllt sind.

Definition

Zwei Elemente $a,b$ eines Integritätsringes $R$ heißen zueinander assoziiert, falls eine Einheit $\backslash epsilon$ mit $b\; =\; a\; \backslash cdot\; \backslash epsilon$ existiert. Dies ist genau dann erfüllt, wenn sich $a$ und $b$ gegenseitig teilen, das heißt $a\; ~|~\; b\; ~|~\; a$ erfüllt ist. Man schreibt auch $a\; \backslash sim\; b$, oder $a~\; \backslash hat\{=\}\; ~b$.

Eigenschaften

Assoziiertheit ist in jedem Integritätsring eine Äquivalenzrelation. Sie ist mit der Teilerrelation verträglich, das heißt für assoziierte Elemente $a,b$ sind die Teiler bzw. Vielfachen von $a$ genau die Teiler bzw. Vielfachen von $b$.

Beispiel

Im Ring $\backslash Bbb\; Z$ der ganzen Zahlen sind $a,\; b$ genau dann assoziiert, wenn $a\; =\; \backslash pm\; b$ gilt. Dies liegt daran, dass in $\backslash Bbb\; Z$ die Zahlen $1$ und $-1$ die einzigen Einheiten sind.

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