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Asiatische Option

Als asiatische Option bezeichnet man in der Finanzwelt eine besondere Form einer exotischen_Option, die dem Käufer eines solchen Derivats einen Durchschnittswert des Underlyings über eine gewisse Laufzeit auszahlt. Man unterscheidet dabei mehrere Typen von asiatischen Optionen, die sich in der Art der Durchschnittsbildung voneinander unterscheiden:

Arithmetische Asiatische Optionen

Sei ein Underlying (etwa eine Aktie oder ein Index $(S\_t),\backslash ;\; t\; \backslash ge\; 0$ gegeben. Eine arithmetische Asiatische Option Aus S mit Laufzeit (Maturität) T>0 (meist angegeben in Jahren) ist ein Kontrakt, der den Verkäufer der Option (auch "short-position" genannt) verpflichtet, zum Zeitpunkt T dem Käufer (long-position) den arithmetischen_Mittelwert $\backslash bar\{S\}$ des Kurses im Zeitraum [0,T] auszuzahlen. Dieser Wert ist dabei definiert als
:$\backslash bar\{S\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; S\_\{t\_i\}$,

wobei die Zeitpunkte $t\_1,\; t\_2,\; \backslash ldots\; t\_n$ eine Einteilung des Intervalls [0,T] beispielsweise in Tage angibt (bei einer Laufzeit von zwei Jahren ergäbe das etwa n=730). Dafür muss der Käufer dem Verkäufer bei Vertragsabschluss eine gewisse Prämie entrichten, die die Erwartungen an den Kursverlauf zum Ausdruck bringt. Das arithmetische Mittel stellt eine Approximation des eigentlichen Mittelwertes $\backslash frac\{1\}\{T\}\; \backslash int\_0^T\; S\_t\; dt$ dar, der nicht exakt berechnet werden kann (da der Kurs einer Aktie nur zu endlich vielen Zeitpunkten ausgegeben wird).

Geometrische Asiatische Optionen

Die geometrische asiatische Option funktioniert dementsprechend, nur wird dabei anstatt des arithmetischen der geometrische_Mittelwert zur Durchschnittsbildung herangezogen. Zum Zeitpunkt T zahlt der Verkäufer also den Betrag

:$\backslash hat\{S\}=\; \backslash left(\backslash prod\_\{i=1\}^n\; S\_\{t\_i\}\; \backslash right)^\{1\; \backslash over\; n\}$

an den Käufer aus, der dafür wieder eine festgelegte Prämie entrichtet. Eine fundamentale Beziehung zwischen arithmetischer und geometrischer Option erkennt man, wenn man den Wert des Underlyings durch $L\_t\; :=\; \backslash ln(S\_t)\backslash$ logarithmiert: Dann gilt nämlich
:$\backslash hat\{S\}=\; e^\{ln(\backslash hat\{S\})\}\; =\; \backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash ln\; \backslash left(\; S\_\{t\_i\}\; \backslash right)\; \backslash right)\; =e^\{\backslash bar\{L\}\}$.

Das geometrische Mittel stellt analog eine Approximation des Integrals $\backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{T\}\; \backslash int\_0^T\; \backslash ln(S\_t)\; \backslash mathrm\{d\}\; t\; \backslash right)$ dar. Mit Hilfe der Jensenschen_Ungleichung lässt sich zeigen, dass stets $\backslash hat\{S\}\; \backslash le\; \backslash bar\{S\}$ gilt. Dementsprechend wird die Prämie für eine geometrische Option geringer ausfallen als die für eine arithmetische Option der selben Laufzeit.

Bewertung von asiatischen Optionen

In der Finanzmathematik ist man stets daran interessiert, den Erwartungswert der Auszahlung bezüglich eines bestimmten Wahrscheinlichkeitsmaßes zu berechnen. Dies ist bei pfadabhängigen Optionen, also solchen, bei denen die Auszahlung nicht nur vom Schlusskurs abhängt (dies ist beispielsweise bei normalen Call- und Put-Optionen der Fall), oft schwierig, wenn nicht gar unmöglich. Das gilt für asiatische Optionen in verstärktem Maße, da diese, etwa bei dreijähriger Laufzeit und täglicher Beobachtung, die Berechnung eines Durchschnitts von über tausend voneinander abhängigen Zufallsvariablen bedeuten kann. In solchen Fällen hilft meist nur noch eine Monte-Carlo-Simulation zur Schätzung des Erwartungswertes.

Ein Ausweg hieraus kann oft die Strategie sein, statt des tatsächlich ausgezahlten Mittelwerts das tatsächliche Integral zu betrachten. In einigen Kapitalmarktmodellen wird S durch spezielle stochastische_Prozesse modelliert, deren Integrale zumindest in ihrer Verteilung bekannt sind. Besonders oft ist dies bei der geometrischen asiatischen Option der Fall, da zumeist (beispielsweise in Lévy-Modellen) $S\_t\; =\; e^\{X\_t\}$ angenommen wird, wobei X ein "einfacher" Prozess ist. Im bekanntesten Kapitalmarktmodell, dem Black-Scholes-Modell, ist dies zum Beispiel eine Brownsche_Bewegung.

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