Artinsch
Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung.Definition
Ein Modul über einem Ring mit heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
*(absteigende Kettenbedingung) Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d.h. in einer Kette
: gibt es einen Index , so dass
: gilt.
*(Minimalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von -Untermoduln von hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.Ein Ring heißt linksartinsch, wenn artinsch als -Linksmodul ist.
Ein Ring heißt rechtsartinsch, wenn artinsch als -Rechtsmodul ist.
Ein Ring heißt artinsch, wenn links- und rechtsartinsch ist.
Die Untermoduln sind dann gerade die Ideale.
Eigenschaften
* Ist eine (assoziative) Algebra über einem Körper , und hat ein -Modul endliche -Dimension, so ist artinsch.
* Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann artinsch, wenn er noethersch und nulldimensional ist. (Ein Ring ist nulldimensional, wenn jedes Primideal maximal ist.) Insbesondere ist jeder Körper artinsch.
Endlich erzeugte Moduln über einem artinschen Ring sind artinsch.
* Ein artinscher Integritätsring ist bereits ein Körper, es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, ist ein Körper.
* Ein linksartinscher Ring ist auch linksnoethersch. (die Umkehrung gilt i.A. nicht, auch gilt dies nicht für -Moduln)
Beispiele
* Ist ein Körper, so sind die Ringe und artinsch.
* Die -Moduln sind artinsch, selbst jedoch nicht.
* ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
* ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.
Siehe auch
noethersch
