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Arnoldi-Verfahren

In der numerischen_Mathematik ist das Arnoldi-Verfahren wie das Lanczos-Verfahren ein iteratives Verfahren zur Bestimmung einiger Eigenwerte und zugehöriger Eigenvektoren. Im Arnoldi-Verfahren wird zu einer gegebenen Matrix $A\backslash in\backslash mathbb\{C\}^\{n\backslash times\; n\}$ und einem gegebenen Startvektor $q\backslash in\backslash mathbb\{C\}^n$ eine orthonormale_Basis des zugeordneten Krylowraumes

:$\backslash mathcal\{K\}\_m(A,q)=\backslash mbox\{span\}\backslash \{q,Aq,A^2q,\backslash ldots\backslash ,A^\{m-1\}q\backslash \}$

berechnet. Da die Spalten $A^iq$ bis auf eine etwaige Skalierung genau den in der Potenzmethode berechneten Vektoren entsprechen, ist es klar, dass der Algorithmus instabil wird, wenn zuerst diese Basis berechnet würde und anschließend, z.B. nach Gram-Schmidt, orthonormalisiert würde.

Der Algorithmus kommt allerdings ohne die vorherige Aufstellung der sogenannten Krylowmatrix $K\_m(A,q)=\backslash left(q,Aq,A^2q,\backslash ldots,A^\{m-1\}q\; \backslash right)$ aus.

Der Algorithmus (MGS-Variante)

Gegeben sei eine quadratische Matrix $A\backslash in\backslash mathbb\{C\}^\{n\backslash times\; n\}$ und ein (nicht notwendig normierter) Startvektor $r\_0\backslash in\backslash mathbb\{C\}^n$.

for $k\backslash in\backslash mathbb\{N\}$ do
:$h\_\{k,k-1\}\backslash leftarrow\; \backslash |r\_\{k-1\}\backslash |$
:$q\_k\backslash leftarrow\; r\_\{k-1\}/h\_\{k,k-1\}$
:$r\_k\backslash leftarrow\; Aq\_k$
: for $j=1,\backslash ldots,k$ do
:: $h\_\{jk\}\backslash leftarrow\; \backslash langle\; q\_j,r\_k\backslash rangle$
:: $r\_k\backslash leftarrow\; r\_k-q\_jh\_\{jk\}$
: end for
end for

Literatur

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