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Arkustangens und Arkuskotangens

Arkustangens und Arkuskotangens sind mathematische Funktionen.
Sie sind die Umkehrfunktionen des Tangens bzw. des Kotangens und damit Arkusfunktionen. Da der Tangens periodisch ist, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Tangens auf $(\; -\; \backslash pi\; /\; 2\backslash ;,\backslash ;\backslash pi\; /\; 2\; )$ beschränkt. Beim Arkuskotangens erfolgt eine Beschränkung auf $0\; \backslash le\; f(x)\; \backslash le\; \backslash pi$.

Definition

Umkehrfunktion zu Tangens und Kotangens.

Eigenschaften

Reihenentwicklung

Die konvergiert genau dann wenn $|x|\backslash le\; 1$ und $x\backslash neq\backslash pm\; i$ ist. Der Arkustangens ist allerdings auf ganz $\backslash mathbb\{R\}$ definiert.

Die Reihenentwicklung kann zur näherungsweisen Berechnung der Zahl π verwendet werden: Die einfachste Formel ist der Spezialfall $x=1$, die Leibniz-Formel
: $\backslash frac\backslash pi4=1-\backslash frac13+\backslash frac15-\backslash frac17+-\backslash ldots$
Da sie nur sehr langsam konvergiert, verwendete John Machin 1706 die kompliziertere Formel
: $\backslash frac\backslash pi4=4\backslash arctan\backslash frac15-\backslash arctan\backslash frac1\{239\}$
um die ersten 100 Nachkommastellen von $\backslash pi$ zu berechnen. Letztere konvergiert schneller und wird auch heute noch für die
Berechnung von $\backslash pi$ verwendet.

Die Taylorreihe des Arkuskotangens lautet:
:$\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; \{\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{2k+1\}\; x^\{2k+1\}\}\backslash ;\; =\; \backslash ;\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}-\; x\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}x^3\; -\; \backslash frac15\; x^5\; +\; \backslash frac17\; x^7\; \backslash cdots$

Funktionalgleichung

Die Arkustangenswerte über 1 lassen sich aus den Werten zwischen 0 und 1 ableiten:
:$\backslash arctan\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash arctan\; x$

Das geht auch mit Werten für :
:$\backslash arctan\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash arctan\; x$

Umkehrfunktionen

Tangensfunktion und Kotangensfunktion:
:$x\; =\; \backslash tan\; y\; \backslash ,$      $x\; =\; \backslash cot\; y\; \backslash ,$

Ableitungen

Arkustangens:
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\backslash arctan(x)=\backslash frac\{1\}\{1+x^2\}$
:
:
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arctan(ax+b)\; =\; \backslash frac\{a\}\{1+(ax+b)^2\}$

Arkuskotangens:


$(r,\backslash operatorname\{atan2\}(y,x))$ sind hierbei die Polarkoordinaten des Punktes mit den kartesischen Koordinaten $(x,y)$.

Definition

Eine von mehreren in der Praxis vorkommenden Definitionen:

:$\backslash operatorname\{atan2\}(y,x)\; :=\; \backslash begin\{cases\}$
\arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0\\
\arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y \geq 0\\
\arctan\frac{y}{x} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y < 0\\
+\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\
-\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\
0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y = 0
\end{cases}

Für $x\; =\; y\; =\; 0$ ist die Funktion manchmal nicht definiert. Auch Sonderfälle wie inversen_Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können.

Siehe auch

Formelsammlung Trigonometrie
Trigonometrische Funktionen

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