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Arkussinus und Arkuskosinus

Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin^-1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion. Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos^-1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen.

Definition

Die Sinusfunktion ist $2\backslash pi$-periodisch. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt,
spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung $\backslash sin|\_\{\backslash left[-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right]\}$ betrachtet. In diesem Fall entsteht die bijektive Funktion mit
:$\backslash arcsin\backslash colon[-1,1]\backslash to\; \backslash left[-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right]$.

Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von $\backslash cos/\text{'}>\_\{[0,\backslash pi]\}$. Diese Definition führt zu der binomischen_Lehrsatzes auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:
:$\backslash arcsin(x)\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\backslash infty\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash choose\; k\}(-1)^k\backslash frac\{x^\{2k+1\}\}\{2k+1\}\; =\; x+\backslash frac16\; x^3\; +\; \backslash frac\{3\}\{40\}\; x^5+\backslash frac\{5\}\{112\}x^7+\backslash frac\{35\}\{1152\}x^9\backslash cdots$.

Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung $\backslash arccos\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash arcsin\; x$ :
:$\backslash arccos(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\backslash infty\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash choose\; k\}(-1)^k\backslash frac\{x^\{2k+1\}\}\{2k+1\}$

Umkehrfunktionen

:

Ableitungen

Arkussinus:
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arcsin(ax+b)\; =\; \backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{1-(ax+b)^2\}\}$

Mit a = 1 und b = 0:
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arcsin\; (x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}$

Arkuskosinus:
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arccos(ax+b)\; =\; -\; \backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; (ax+b)^2\}\}$

Mit a = 1 und b = 0:
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arccos(x)\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}$

Umrechnung:
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arccos(x)\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arcsin\; (x)$

Integrale

Arkussinus:
: $\backslash int\; \backslash arcsin\backslash left(\backslash frac\{x\}\{a\}\backslash right)\; \backslash mathrm\; dx\; =\; x\backslash ,\backslash arcsin\backslash left(\backslash frac\{x\}\{a\}\backslash right)\; +\; \backslash sqrt\{a^2\; -\; x^2\; \}\; +\; C$

Arkuskosinus:
:$\backslash int\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash right)\backslash ,\; \backslash mathrm\; dx\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash right)\; -\; \backslash sqrt\{\; a^2\; -\; x^2\}\; +\; C$

Anmerkungen

Besondere Werte

Weiterführendes

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:
:$\backslash arcsin\; z\; =\; -\backslash mathrm\{i\}\backslash ,\backslash ln\backslash left(\backslash mathrm\; i\; z+\backslash sqrt\{1-z^2\}\backslash right)$
:$\backslash arccos\; z\; =\; -\backslash mathrm\{i\}\backslash ,\backslash ln\backslash left(z+\backslash mathrm\; i\backslash sqrt\{1-z^2\}\backslash right)$

Literatur

* Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. ISBN 3-87144-492-8

Siehe auch

Formelsammlung Trigonometrie
Trigonometrische Funktionen

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