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Arithmetischer Zufallszahlengenerator

Arithmetische Zufallszahlengeneratoren sind Zufallszahlengeneratoren zur Erzeugung von Zufallszahlen, die auf der Arithmetik beruhen. Sie basieren auf dem Satz von Weyl, verwenden also

$u\_i\; =\; i\; y\_0\; -\; \backslash lfloor\; i\; y\_0\; \backslash rfloor\; =\; i\; y\_0\; \backslash ,\; \backslash mod\; \backslash ,\; 1$

als Generator, wobei die Definitionen bei Satz von Weyl gelten, also insbesondere $y\_0\; \backslash in\; ]0,\; 1[$ eine irrationale Zahl ist. Hierbei steht $\backslash mod$ für die Modulo-Operation. $\backslash lfloor\; a\; \backslash rfloor$ bezeichnet die größte Ganzzahl die kleiner oder gleich $a$ ist.

Arithmetische Zufallszahlengenerator werden in der Praxis statt physikalischer Zufallszahlengeneratoren eingesetzt. Da auf Rechnern keine irrationalen_Zahlen darstellbar sind, beschränkt man sich häufig auf rekursive arithmetische Zufallszahlengeneratoren.

Rekursive arithmetische Zufallszahlengeneratoren

Dies sind Zufallszahlengeneratoren, die auf arithmetischen Zufallszahlengeneratoren basieren, bei denen man sich jedoch mit bestimmten rationalen_Zahlen als Zufallszahlen zufrieden gibt, da irrationale Zahlen, von denen arithmetische Zufallszahlengeneratoren ausgehen, auf Rechnern nicht darstellbar sind. Es handelt sich also um Pseudozufallszahlengeneratoren.

Zur Initialisierung des Generators verwendet man Startwerte $y\_0,\; y\_1,\; ...,\; y\_\{k-1\}\backslash ,$, die als Saat bezeichnet werden.

Eine arithmetische Funktion
:$f\; :\; \backslash left\backslash \{\; 0,\; ...,\; m-1\; \backslash right\backslash \}^k\; \backslash rightarrow\; \backslash left\backslash \{\; 0,\; ...,\; m-1\; \backslash right\backslash \}$

erzeugt nun sukzessive die Werte
:$y\_n\; :=\; f\; (\; y\_\{n-k\},\; y\_\{n-k+1\},\; ...,\; y\_\{n-1\}\; )\backslash ,$, wobei $n\; \backslash ge\; k$.

Als Zufallszahlen im Intervall $[0;\; 1[$ verwendet man dann z. B.:
:$u\_i\; :=\; \backslash frac\{y\_i\}\{m\}$.

Man gibt sich für die Zufallszahlen also mit Werten aus der Menge $\backslash left\backslash \{\; 0,\; \backslash frac\{1\}\{m\},\; \backslash frac\{2\}\{m\},\; ...,\; \backslash frac\{m-1\}\{m\}\; \backslash right\backslash \}$ zufrieden, wobei $m$ eine hinreichend große natürliche Zahl ist.

Die wohl bedeutendsten rekursiven arithmetischen Zufallszahlengeneratoren sind Kongruenzgeneratoren.

Um die erforderliche Menge $m$ zu erzeugen, greift man in der Informatik in den meisten Fällen auf den Millisekundenanteil der aktuellen Uhrzeit zurück bzw. entwickelt eine entsprechende Formel, die sich auf die aktuelle Uhrzeit des verwendeten System stützt.

Vorteile

Bei geeigneter Funktion  $f$  lassen sich schnell Zufallszahlen erzeugen. Diese sind bei Angabe der Saat vollständig reproduzierbar.

Nachteile

Die Folge $(y\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ ist deterministisch. Es werden keine echten Zufallszahlen, sondern vielmehr nur Pseudozufallszahlen erzeugt. Es handelt sich also um einen Pseudozufallszahlengenerator. Die Determiniertheit bedingt auch, dass eine Unabhängigkeit und Gleichverteilung der Folge nicht gegeben ist. Insbesondere wird irgendwann eine Schleife erzeugt. Es gibt also $n\_0,\; p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ mit $y\_\{n+p\}\; =\; y\_n\backslash ,$ für alle $n\; \backslash ge\; n\_0$. Das kleinste $p$ bezeichnet man hierbei als Periode.

Ob diese Nachteile aber eine Rolle spielen hängt von der Anwendung ab: Zum Beispiel ist es für Simulationen kein Nachteil, daß die generierten Zahlen vorhersagbar sind solange die Periodenlänge hinreichend groß ist. Im gegenteil: Die Reproduzierbarkeit der Zahlen erleichtert die Analyse und Fehlersuche.

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