Wichtiger Hinweis zum Inhalt des Online-LexikonsBei den auf dieser Seite aufgeführten Texten/Artikeln/Inhalten handelt es sich ausschließlich um fremde Inhalte, die sich die Aschendorff Verlag GmbH & Co. KG ausdrücklich nicht zu Eigen macht. Diese fremden Inhalte, die keiner regelmäßigen Überprüfung unterliegen, sind ausnahmslos solche der freien Enzyklopädie Wikipedia, für die keinerlei Verantwortung übernommen wird.

---

Lizenzbestimmungen Der Text/Artikel/Inhalt auf dieser Seite innerhalb der Rubrik "Online Lexikon" basiert, soweit nicht anders angegeben, auf dem Artikel Arithmetische Reihen aus der freien Enzyklopädie Wikipedia. Die Inhalte stehen unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. Eine Liste der Autoren ist dort abrufbar.

Arithmetische Reihe

Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summe der ersten $n$ Glieder (den Partialsummen) einer arithmetischen_Folge sind.

In einer arithmetische Folge lässt sich das i-te Folgenglied $a\_i$ als
:$a\_i\; =\; i\backslash cdot\; d\; +\; a\_0$
schreiben, wobei d hier die Differenz (bzw. der Abstand) zwischen zwei Folgengliedern ist, also

:$a\_i\; =\; i\backslash cdot\; (a\_\{n+1\}\; -\; a\_n)\; +\; a\_0$

Eine arithmetische Reihe schreibt sich somit folgendermaßen:
:$a\_0\; +\; (a\_0\; +\; d)\; +\; (a\_0\; +\; 2\; d)\; +\; ...\; +\; (a\_0\; +\; (n-1)\; d)\; +\; (a\_0\; +\; n\; d)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; (a\_0\; +\; i\backslash cdot\; d)$

Allgemeine Summenformel

Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung des Wertes dieser Reihe.

:$\backslash sum\_\{i=0\}^n(i\; \backslash cdot\; d\; +\; a\_0)\; =\; a\_0\; (n+1)\; +\; d\backslash ,\; \backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}$,

Der Beweis dieser Gleichung wird häufig als erstes Beispiel für die Methode der Vollständigen_Induktion verwendet.

Spezielle Summen

Summe der ersten n natürlichen Zahlen

:$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; k\; =\; 1\; +\; 2\; +\; 3\; +...+\; n\; =\; \backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}$

Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen

:$\backslash sum\_\{k=1\}^n(2k-1)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}(2k+1)\; =\; 1\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 7\; +...+\; (2n-1)\; =\; n^2$
mit
:$a\_0=1$ , $d=2$

Siehe auch

Geometrische Reihe, Binomische Reihe, Gaußsche Summenformel, Differenzenreihe

       VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE