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Zahlentheoretische Funktion

Eine zahlentheoretische oder auch arithmetische Funktion ist eine Funktion, die jeder positiven natürlichen_Zahl einen Funktionswert aus den komplexen_Zahlen zuordnet. Diese Funktionen dienen in der Zahlentheorie dazu, Eigenschaften von natürlichen Zahlen, besonders deren Teilbarkeit zu beschreiben und zu untersuchen.

Spezielle zahlentheoretische Funktionen

Beispiele

Wichtige arithemtische Funktionen sind
*die identische Funktion $I(n)=n$ und ihre Potenzen $I^r(n)=n^r$,
*die Dirichlet-Charaktere $\backslash chi(n)$.
*die Teileranzahlfunktion d(n), die angibt, wieviele Teiler die Zahl n besitzt,
*die verallgemeinerten Teilersummenfunktionen
:$\backslash sigma(n):=\backslash sum\_\{d/\text{'}>n\}d,\; \backslash qquad\; \backslash sigma\_k(n):=\backslash sum\_\{d|n\}d^k\backslash quad$, die die Summe aller Teiler bzw. der k-ten Potenzen aller Teiler einer Zahl angeben,
*die p-adische_Exponentenbewertung $\backslash nu\_p(n)$ .

Multiplikative Funktionen

Eine zahlentheoretische Funktion heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen a und b stets $f(ab)=f(a)\; \backslash cdot\; f(b)$ gilt und $f(1)$ nicht verschwindet. Sie heißt vollständig multiplikativ, auch strikt oder streng multiplikativ, wenn dies auch für nicht teilerfremde Zahlen gilt. Jede vollständig multiplikative Funktion ist also multiplikativ. Eine multiplikative Funktion lässt sich darstellen als
:$f(n)=\backslash prod\_\{p\backslash in\backslash mathbb\{P\}\}f\backslash left(p^\{\backslash nu\_p(n)\}\backslash right)$, d. h. eine multiplikative Funktion ist vollständig durch die Werte bestimmt, die sie für Primzahlpotenzen annimmt.

*Von den oben als Beispiele angeführten Funktionen sind die Identität und ihre Potenzen sowie die Dirichlet-Charaktere vollständig multiplikativ, die Teileranzahlfunktion, die Teilersummenfunktion und die Eulersche ?-Funktion multiplikativ. Die Primzahlfunktion und die Exponentenbewertung sind nicht multiplikativ.
*Das (punktweise) Produkt von zwei (vollständig) multiplikativen Funktionen ist wieder (vollständig) multiplikativ.

Additive Funktionen

Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn für teilerfremde Zahlen a und b stets $f(ab)=f(a)+f(b)$ gilt. Sie heißt vollständig additiv, auch strikt oder streng additiv, wenn dies auch für nicht teilerfremde Zahlen gilt.
Ein Beispiel für eine additive Funktion ist die p-adische Exponentenbewertung. Aus jeder multiplikativen Funktion, die nirgends verschwindet, lässt sich eine additive Funktion konstruieren, indem man das Ergebnis logarithmiert. Präziser: Wenn f (vollständig) multiplikativ und stets $f(n)\backslash neq\; 0$ ist, dann ist $\backslash log(/\text{'}>f|)$ eine (vollständig) additive Funktion. ? Gelegentlich wird auch ein (komplexer) Logarithmus einer nirgends verschwindenden zahlentheoretische Funktion $\backslash operatorname\{Log\}(f)$ (ohne Betrag) gebildet. Dabei ist jedoch wegen der verschiedenen Zweige des Dirichlet auch als Dirichlet-Faltung bezeichnet. Zu anderen Bedeutungen des Wortes in der Mathematik siehe den Artikel Faltung (Mathematik).

Definition

Die Faltung zweier Funktionen ist definiert als
:$(f*g)(n):=\backslash sum\_\{d/\text{'}>n\}f\backslash !\backslash left(\backslash frac\{n\}\{d\}\backslash right)g(d)$

Die Funktion $F:=f*I\backslash ,^0$ bezeichnet man als die summatorische Funktion von f. Die Funktion $I\backslash ,^0$ ist konstant 1. Ihr Inverses bezüglich der Faltungsoperation ist die (multiplikative) Planetmath (englisch) zum Stichwort arithmetic function

Literatur

* Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-58821-3
* Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-43579-4

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