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Arithmetisch-geometrisches Mittel

In der Mathematik bezeichnet man als arithmetisch-geometrisches Mittel zweier positiver reeller_Zahlen eine gewisse Zahl, die zwischen dem arithmetischen_Mittel und dem geometrischen_Mittel liegt.

Definition

Es seien $a$ und $b$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Ausgehend von ihnen werden induktiv zwei Folgen $(a\_n)$ und $(b\_n)$ mit $a\_0=a$, $b\_0=b$ definiert:
: $a\_\{n+1\}=\backslash frac\{a\_n+b\_n\}2$ (arithmetisches Mittel)

: $b\_\{n+1\}=\backslash sqrt\{a\_nb\_n\}$ (geometrisches Mittel)
Die Folgen $(a\_n)$ und $(b\_n)$ konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert $M(a,b)$, der als arithmetisch-geometrisches Mittel von $a$ und $b$ bezeichnet wird.

Einfaches Beispiel

Sei $a\_\{0\}\; =\; 4,0000\backslash ,$ und $b\_\{0\}=9,0000\backslash ,$. Dann ist
: $a\_\{1\}=\backslash frac\{4+9\}2=6\{,\}5000$ und $b\_\{1\}=\backslash sqrt\{4\backslash cdot9\}=6,0000$
: $a\_\{2\}=6\{,\}2500\backslash ,$ und $b\_\{2\}\backslash approx\; 6\{,\}2450\backslash ,$
: $a\_\{3\}\backslash approx\; b\_\{3\}\backslash approx\; M(a,b)\backslash approx\; 6\{,\}2475\backslash ,$

Einfache Eigenschaften

Für zwei nichtnegative Werte $a$ und $b$ gilt:
* $M(a,b)=M(b,a)\backslash ,$
* $M(ta,tb)=t\backslash cdot\; M(a,b)$ für $t\backslash geq0$
* $\backslash min\backslash \{a,b\backslash \}\backslash leq\backslash sqrt\{ab\}\backslash leq\; M(a,b)\backslash leq\backslash frac\{a+b\}2\backslash leq\backslash max\backslash \{a,b\backslash \}$; Gleichheit gilt dabei genau für $a=b$.
* $M(a,b)=M\backslash bigg(\backslash frac\{a+b\}2,\backslash sqrt\{ab\}\backslash bigg)$

Wichtige Eigenschaften

* Monotonie: Für zwei positive Startwerte

:

* Konvergenzgeschwindigkeit: Sei $c\_n\; :=\; \backslash sqrt$. Wegen der Abschätzung
: $c\_\{n+1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(a\_n-b\_n)\; =\; \backslash frac\{4\{a\}\_\{n+1\}\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{M(a,b)\}$ liegt ein Verfahren mit quadratischer Konvergenz vor.

Alternative Darstellung

Man kann beide Folgen auch von einander entkoppeln: Sei $a\_0=a$, $b\_0=b$, $a\_1=\backslash frac\{a\_0+b\_0\}2$ und $b\_1=\backslash sqrt\{a\_0b\_0\}$. Dann kann man die obigen Gleichungen umformen zu:
: $a\_n\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a\_\{n-1\}(a\_\{n-1\}^2\; +\; a\_\{n-2\}^2)\}\{2a\_\{n-2\}\}\}$

: $b\_n\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{(2b\_\{n-1\}\; -\; b\_\{n-2\})b\_\{n-2\}\}+b\_\{n-1\}\}\{2\}$

Historisches

Das arithmetisch-geometrische Mittel wurde unabhängig voneinander von den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und zuvor schon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, um die Bogenlänge von Ellipsen, d. h. also elliptische Integrale, näherungsweise zu berechnen. Gauß etwa notierte die Gleichung
: $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2M(1,\backslash sqrt\{2\})\}\; =\; \backslash int\_0^1\backslash frac\{\backslash mathrm\; dt\}\{\backslash sqrt\{1-t^4\}\}$
in seinen mathematischen Tagebüchern.

Verfahren von Salamin und Brent

Das nachfolgende Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl $\backslash pi$ wurde 1976 unabhängig voneinander von Richard Brent und Eugene Salamin publiziert. Es nutzt wesentlich die Erkenntnisse von Gauß über das arithmetisch-geometrische Mittel. Gauß bemerkte zu seiner Zeit allerdings nicht, dass sich damit auch ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Zahl $\backslash pi$ konstruieren lässt. Dennoch wird das Verfahren oft auch als Methode von Gauß, Brent und Salamin bezeichnet.

Die Schritte des Verfahrens können folgendermaßen beschrieben werden:

* Initialisierung: Man verwendet als Startwerte
:$a\_0\; =\; 1\backslash qquad\; b\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash qquad\; s\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash qquad$
* Schleife: Für $n\; =\; 1,2,...$ berechnet man
:$a\_\{n\}\; =\; \backslash frac\{a\_\{n-1\}\; +\; b\_\{n-1\}\}\{2\}\; \backslash ,$
:$b\_\{n\}\; =\; \backslash sqrt\{a\_\{n-1\}b\_\{n-1\}\}\; \backslash ,$
:$c\_\{n\}\; =\; a\_\{n\}^2\; -\; b\_\{n\}^2\; \backslash ,$
:$s\_\{n\}\; =\; s\_\{n-1\}\; -\; 2^\{n\}c\_\{n\}\; \backslash ,$
:$p\_\{n\}\; =\; \backslash frac\{2a\_\{n\}^2\}\{s\_\{n\}\}\; \backslash ,$

Die Folge der $(p\_n)$ konvergiert quadratisch gegen $\backslash pi$, d. h. mit jedem Durchlaufen der Schleife verdoppelt sich etwa die Zahl der korrekt berechneten Ziffern. Damit konvergiert dieser Algorithmus deutlich schneller gegen $\backslash pi$ als viele klassische Verfahren.

Zahlenbeispiel

Mit den Startwerten

: $a\_0\; =\; 1\backslash qquad\; b\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}=0\{,\}707106781186547\backslash qquad\; s\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}=0\{,\}5\backslash qquad$

berechnet man rekursiv:
Nach drei Iterationen erhält man für das arithmetisch-geometrisches Mittel den Näherungswert $M(1,1/\backslash sqrt\{2\})\backslash approx\; a\_3\; \backslash approx\; 0\{,\}847213084.$

Für die Zahl $\backslash pi$ ergibt sich die Näherung $\backslash pi\backslash approx\; p\_3\; \backslash approx\; 3\{,\}141592653.\backslash ,$

Beziehung zu elliptischen Integralen

Es gilt:
: $\backslash frac\{\backslash pi/4\}\{M(a,b)\}=\backslash int\_0^1\backslash frac\{\backslash mathrm\; dt\}\{\backslash sqrt\{(1-t^2)((a+b)^2-(a-b)^2t^2)\}\}$
Die rechte Seite ist ein vollständiges elliptisches Integral erster Art.

Weblinks und Literatur

• Christian W. Hoffmann: $\backslash pi$ und das arithmetisch-geometrische Mittel.
• David H. Bailey et al. The Quest for Pi
Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM, A Study in Analytic Number Theory an Computational Complexity, John Wiley, New York, 1987, ISBN 0-471-31515-X.

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