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Area under the curve
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Integralrechnung Die
Integralrechnung ist neben der
Differentialrechnung der wichtigste Zweig der
mathematischen Disziplin der
Analysis . Das
Integral ordnet einer
Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich einen Zahlwert zu. Dieser Vorgang heißt
Integration .
Das Integral wird im zweidimensionalen
Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der
x -Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher entspricht es einem Volumen.
Der
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung , auch
Fundamentalsatz der Analysis genannt, besagt, dass Integrale aus
Stammfunktion en berechnet werden können. Das Bestimmen von Stammfunktionen ist die
inverse Aufgabe (das heißt Gegenteil) zur Differentiation.
Im Gegensatz zur Differentiation existiert allerdings für die Integration
auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender
Algorithmus . Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (
Integration durch Substitution ,
Partielle Integration ) oder/und Nachschlagen in einer
Tabelle . Oft erfolgt die Integration auch nur näherungsweise als so genannte
numerische_Quadratur . In der
Technik benutzt man zur Integration bzw. Flächenbestimmung so genannte
Planimeter , bei welchen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem
Nonius versehen ist.
Geschichte
Flächenberechnungen werden seit der
Antike untersucht. Im 5. Jahrhundert v. Christus entwickelte
Eudoxos von Knidos nach einer Idee von
Antiphon die
Exhaustionsmethode , die darin bestand, einen Körper durch regelmäßige Polygone auszufüllen. Er konnte so Flächen als auch Volumen einiger einfacher Körper bestimmen.
Archimedes (287?212 v.Chr.) verbesserte diesen Ansatz und so gelang ihm die exakte Integration einer
Parabel , alles ohne Benutzung eines Grenzwertbegriffs. Er näherte
Pi auf einen Wert zwischen 3 + 10/70 und 3 + 10/71 an.
Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 17. Jahrhundert stellte
Bonaventura Francesco Cavalieri das
Prinzip von Cavalieri auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle ebenen Schnitte den gleichen Flächeninhalt haben.
Johannes Kepler versuchte ab 1612 den Rauminhalt von Weinfässern zu berechnen. 1615 veröffentlichte er die
Stereometria Doliorum Vinariorum (?
Stereometrie der Weinfässer?), später auch als
keplersche Fassregel bekannt.
Ende des
17. Jahrhundert s gelang es
Isaac Newton und
Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zur
Differentialrechnung zu entwickeln und so den Fundamentalsatz der Analysis zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel
Infinitesimalrechnung ). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen
Guillaume François Antoine, Marquis de L?Hospital , der bei
Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Der Begriff
Integral geht auf Johann Bernoulli zurück.
Im 19. Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte
Augustin Louis Cauchy erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an
Stringenz genügt. Später entstanden die Begriffe des
Riemann-Integral s und des
Lebesgue-Integral s. Schließlich folgte die Entwicklung der
Maßtheorie Anfang des 20. Jahrhunderts.
Integral für kompakte Intervalle
?Kompakt? bedeutet hier, dass nur Funktionen auf
Intervallen der Form
[a,b] betrachtet werden. Offene oder
unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.
Motivation
= Reduktion komplizierterer Flächeninhalte auf Integrale =
Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei (
stetige ) Funktionen
f,g auf einem endlichen Intervall
[a,b] , deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild).
:
Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der schraffierten Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die von
* dem Graphen einer Funktion
* zwei vertikalen Geraden
x=a und
x=b
* sowie der
x -Achse
begrenzt wird.
Aufgrund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung:
:
\int_a^b f(x)\,\mathrm dx,
gelesen als
Integral von a bis b über (oder:
von )
f(x)\,\mathrm dx .= Integrale negativer Funktionen =
Verschiebt man den Graphen einer Funktion in Richtung der
y -Achse um ein Stück
c , so kommt zu der betrachteten Fläche ein Rechteck hinzu:
:
Das Integral ändert sich um den Flächeninhalt dieses Rechtecks der Breite
b-a und der Höhe
c , in Formeln
:
\int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+(b-a)\cdot c.
Betrachtet man eine Funktion, deren Werte negativ sind, so kann man stets ein
c finden, so dass die Werte von
f(x)+c alle positiv sind:
:
Mit der vorhergehenden Überlegung erhält man
:
\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx-(b-a)\cdot c,
das heißt, das Integral von
f ist die Differenz der Flächeninhalte des weißen Bereichs in der Mitte und dem umgebenden Rechteck. Diese Differenz ist aber
negativ , das heißt, soll die obige Formel für beliebige Funktionen korrekt sein, so muss man Flächen unterhalb der
x -Achse negativ zählen. Man spricht deshalb von einem ?orientierten? Flächeninhalt.
Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen
x -Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.
= Das Prinzip von Cavalieri und die Additivität des Integrals =
Hauptartikel: Prinzip von Cavalieri
Axiomatischer Zugang
Es ist nicht einfach, den Begriff des Flächeninhaltes mathematisch präzise zu fassen. Im Lauf der Zeit wurden dafür verschiedene Konzepte entwickelt. Für die meisten Anwendungen sind deren Details jedoch unerheblich, da sie unter anderem auf der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. Im Folgenden werden einige Eigenschaften des Integrals aufgelistet, die oben motiviert wurden und unabhängig von der genauen Konstruktion für jedes Integral gelten. Außerdem legen sie das Integral stetiger Funktionen eindeutig fest.
Es seien
a reelle Zahl en, und es sei \mathcal F ein Vektorraum von Funktionen [a,b]\to\mathbb R , der die stetigen Funktionen umfasst. Funktionen in \mathcal F werden ?integrierbar? genannt. Dann ist ein Integral eine Abbildung\mathcal F\to\mathbb R, f\mapsto\int_a^b f(x)\,\mathrm dx, f,g\in\mathcal F und \lambda\in\mathbb R gilt\int_a^b(f(x)+g(x))\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+\int_a^b g(x)\,\mathrm dx \int_a^b(\lambda f(x))\,\mathrm dx = \lambda\cdot\int_a^b f(x)\,\mathrm dx f(x)\geq0 für alle x\in[a,b] , so ist\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\geq0. I\subseteq[a,b] ein Intervall, und ist\chi_I(x)=\begin{cases}1&\mathrm{falls}\ x\in I\\0&\mathrm{falls}\ x\notin I,\end{cases} \int_a^b \chi_I(x)\,\mathrm dx I . Bezeichnungen a und b heißen Integrationsgrenzen . Sie können oberhalb und unterhalb des Integralzeichens oder seitlich vom Integralzeichen geschrieben werden:{\textstyle\int\limits_a^b} f(x)\,dx oder \int\nolimits_a^b f(x)\,dx f(x) heißt Integrand .x heißt Integrationsvariable . Ist x die Integrationsvariable, so spricht man auch von Integration über x . Die Integrationsvariable ist austauschbar, statt\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \int_a^b f(t)\,\mathrm dt oder \int_a^b f(\xi)\,\mathrm d\xi a oder b zu verwenden, da sie bereits als Bezeichner für die Integrationsgrenzen fungieren.\mathrm dx ? wird Differential Herkunft der Notation Gottfried Wilhelm Leibniz , zurück. Das Integralzeichen ? ist aus dem langen_Buchstaben_?_(S) für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation f(x)\;\mathrm{d}x deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe f(x) und der infinitesimalen Breite \mathrm{d}x zusammensetzt. Alternative Schreibweise in der Physik \int_a^b f(x)\,\mathrm dx meistens \int_a^b \mathrm dx f(x) geschrieben. Dies hat zwar den Nachteil, dass die zu integrierende Funktion f(x) nicht mehr durch \int_a^b und \mathrm dx eingeklammert wird, jedoch auch einige Vorteile:\int_a^b \mathrm dx hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist, der auf alles rechts von ihm wirkt.x_1,x_2,\ldots,x_n integriert. Dann weiß man bei der Schreibweise \int_a^b \mathrm dx f(x) schon zu Beginn des Integrals, welche Variablen überhaupt und über welche Grenzen integriert werden. Ferner ist dann die Zuweisung von Variablen zu Grenzen einfacher.Beispiel: \int_{a_1}^{a_2}\mathrm dt \int_{b_1}^{b_2}\mathrm dx_1\int_{c_1}^{c_2}\mathrm dx_2\int_{d_1}^{d_2} \mathrm dx_3 \,f(x_1,x_2,x_3,t) \int_{a_1}^{a_2}\int_{b_1}^{b_2}\int_{c_1}^{c_2}\int_{d_1}^{d_2} f(x_1,x_2,x_3,t)\,\mathrm dx_3\mathrm dx_2\mathrm dx_1\mathrm dt Einfache Folgerungen aus den Axiomen f(x)\leq g(x) für alle a\leq x\leq b , so ist\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq\int_a^bg(x)\,\mathrm dx. \/'>f\|_\infty das stetiges Funktional für die Supremumsnorm .f eine Treppenfunktion , das heißt, ist [a,b] eine disjunkte Vereinigung von Intervallen I_k der Längen L_k , so dass f auf I_k konstant mit Wert c_k ist, so gilt\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\sum_{k=1}^n L_k\cdot c_k, f . Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion benötigt:f eine Funktion, so heißt eine Funktion F eine Stammfunktion von f , wenn die Ableitung von F gleich f ist:F' = f.\, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt die Beziehung zwischen Stammfunktionen und Integralen her. Er besagt: Ist f eine stetige Funktion auf einem Intervall [a,b] , und ist F eine Stammfunktion von f , so gilt\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(b) - F(a). [F(x)]_a^b oder [F(x)]_{x=a}^{x=b} oder F(x)\Big|_a^b o.ä.Existenz ist theoretisch gesichert: Die Integralfunktion x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt f . Eigenschaften von Stammfunktionen F eine Stammfunktion zu einer Funktion f , und ist c\in\mathbb R eine Konstante, so ist (F+c)'=F '+0=F '=f. F und G Stammfunktionen derselben Funktion f , so ist (F-G)'=F '-G '=f-f=0 , also ist die Differenz F-G eine Konstante. Unbestimmtes Integral unbestimmtes Integral von f(x) bezeichnet – manchmal ist damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist F(x) eine Stammfunktion, so schreibt man häufig unpräzise\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C, f die Form F(x)+C mit einer Konstante C hat.\int f(x)\,\mathrm dx \int cf(x)\,\mathrm dx=c\int f(x)\,\mathrm dx \int_a^b cf(x)\,\mathrm dx=c\int_a^b f(x)\,\mathrm dx a,b gilt. Bestimmung von Stammfunktionen siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen , oder unbestimmte_Integrale_in_der_Formelsammlung_Mathematik Tabellenwerken nach. Zur händischen Berechnung einer Stammfunktion ist häufig die geschickte Anwendung der folgenden Standardtechniken hilfreich.= Partielle Integration =Hauptartikel: Partielle Integration Produktregel der Differentialrechnung. Sie lautet: \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x f(x) eine einfachere Funktion entsteht.\int_a^b x \cdot \ln \left(x \right) \,\mathrm{d}x f(x) = \ln \left(x\right) \, und g'(x)=x \, ,f '(x) = {1 \over x} \, und g(x)={x^2 \over 2} \, = Integration durch Substitution =Hauptartikel: Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt, eine der Integrationsregeln anzuwenden. Numerische Berechnung von Integralen numerischer_Quadratur Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel (deren Spezialfall als Keplersche Fassregel bekannt ist) sind Beispiele dafür. Anwendungen Mittelwerte stetiger Funktionen Mittelwert m einer gegebenen stetigen Funktion f(x) auf einem Intervall [a,b] zu berechnen, benutzt man die Formel m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x. Definition für Treppenfunktion en mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt, und daher diese Verallgemeinerung sinnvoll ist.Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass dieser Mittelwert von einer stetigen Funktion in Intervall [a,b] auch tatsächlich angenommen wird. Beispiel für den Integralbegriff in der Physik Phänomen , an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der freie_Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde . Bekanntlich beträgt die Beschleunigung g des freien_Falls in Mitteleuropa ca. 9,81 m/s². Die Geschwindigkeit v eines Körpers zur Zeit t lässt sich daher durch die Formelv = g \cdot t\, l berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit T zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit v des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne \Delta t die Geschwindigkeit v , die sich aus der Zeit g \cdot t ergibt, konstant bleibt.\Delta t beträgt daher\Delta l = g \cdot t\,\cdot\Delta t l = \sum \left( g \cdot t \,\cdot\Delta t \right) \Delta t gegen Null streben lässt, erhält manl = \lim_{\Delta t \to 0} \left( \sum \left( g \cdot t \,\cdot \Delta t\right)\right) = \int_0^T \left( g \cdot t\;\mathrm{d}t\,\right) =\, \frac g 2 \cdot T^2 l = \frac g 2 \cdot t^2\, v = g \cdot t\, a = g\, Konstruktionen Cauchy-Integral Regelfunktion ist eine Funktion, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt. Aufgrund der erwähnten Kompatibilität des Integrals mit gleichmäßigen Limites kann man für eine Regelfunktion f , die gleichmäßiger Limes einer Folge t_n von Treppenfunktionen ist, das Integral definieren als\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b t_n(x)\,\mathrm dx, monotonen Funktionen, ebenso alle Funktionen f , für die sich [a,b] in endlich viele Intervalle I_k unterteilen lässt, so dass f auf I_k die Einschränkung einer stetigen oder monotonen Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall \bar I_k ist. Für viele praktische Zwecke ist diese Integralkonstruktion völlig ausreichend. Riemann-Integral = Allgemeines =Hauptartikel: Riemann-Integral Treppenfunktion .Rechteck e unter den einzelnen ?Treppenstufen? angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen.Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten Riemann-Summen . Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme. totalen_Variation und der maximalen Intervalllänge in der Zerlegung abschätzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen ein bestimmtes Integral genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist.Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden.= Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation =Riemann-Integral kann nicht bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, zum Beispiel Funktionen mit oszillierenden Singularitäten wie \sin\left(\frac1{x^2}\right) oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen im Intervall [0,1]Henri Leon Lebesgue (Lebesgue-Integral ), Thomas Jean Stieltjes (Stieltjesintegral ) und Alfred Haar eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren. Lebesgue-Integral Hauptartikel: Lebesgue-Integral Maßräume . Das bedeutet, dass man Mengen ein Maß zuordnen kann, welches nicht notwendig mit ihrer geometrischen Länge bzw. ihrem Rauminhalt übereinstimmen muss, so zum Beispiel Wahrscheinlichkeits-Maße in der Wahrscheinlichkeitstheorie (siehe hierzu auch Maßtheorie ). Das Maß, welches dem intuitiven Längen- bzw. Volumenbegriff entspricht ist das Lebesgue-Maß . In der Regel wird das Integral über dieses Maß als Lebesgue-Integral bezeichnet. Man kann beweisen, dass für jede Funktion, die über einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, auch das entsprechende Lebesgue-Integral existiert und die Werte beider Integrale übereinstimmen. Die Umkehrung gilt hingegen nicht. Das bekannteste Beispiel für eine Funktion, die Lebesgue- aber nicht Riemann- integrierbar ist, ist die Dirichlet-Funktion . Neben der größeren Klasse an integrierbaren Funktionen zeichnet sich das Lebesgue-Integral gegenüber dem Riemann-Integral vor allem durch die besseren Konvergenzsätze aus (Satz von der monotonen Konvergenz, Satz von der majorisierten Konvergenz). Integrale für nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale kompakten_Mengen definiert, also beschränkten und abgeschlossenen Intervallen, wo die Integrationsgrenzen Teil der Definitionsmenge sind. Die Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit Definitionslücken verläuft je nach gewählter Konstruktion etwas unterschiedlich. In der Lebesgue-Theorie ergibt sich die Verallgemeinerung vollkommen natürlich, in der Riemann-Theorie muss man mit Grenzwerten von Integralen über kompakte Bereiche arbeiten; man spricht in diesem Zusammenhang von uneigentlichen Integralen .\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x ,\int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x ,A = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{b'\to b} \int_a^{b'} f(x)\,\mathrm{d}x ,b'\to b berechnet. gaußschen_Glockenkurve , wird das Integral in zwei Teile aufgeteilt und die obigen Schritte für beide Teile durchgeführt. Mehrdimensionale Integration Integration von vektorwertigen Funktionen [a,b]\to\mathbb R^m erfolgt komponentenweise. Wegintegrale Hauptartikel: siehe Kurvenintegral = Reelle Wegintegrale und Länge einer Kurve =\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n ein Weg , also eine stetige Abbildung, und f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m eine Funktion, so ist das Wegintegral von f entlang \gamma definiert als\int_\gamma f(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(\gamma(t))\,\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt. f = 1 , so erhalten wir aus der obigen Formel die Länge der Kurve \gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2 (physikalisch gesprochen) als das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:L(\gamma)=\int_a^b\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt=\int_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2}\,\mathrm dt. = Reelle Wegintegrale: Mit Skalarprodukt =f ist eine Funktion \mathbb R^n\to\mathbb R^n , und es wird das Integral\int_\gamma f(x)\cdot\mathrm dx = \int_a^b\langle f(\gamma(t)),\dot\gamma(t)\rangle\,\mathrm dt = Komplexe Wegintegrale =Funktionentheorie , also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Wegintegral . Für geschlossene Wege gilt der Residuensatz , ein wichtiges Resultat von Cauchy : Das Integral entlang einem geschlossenen Weg hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden. Integration über mehrdimensionale Bereiche f operiert, nicht die Zahlengerade \mathbb{R} , sondern der n -dimensionale Euklidische_Raum \mathbb{R}^n ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen V darf man nach dem Satz von Fubini berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind:= \int \mathrm{d}x \left(\int \mathrm{d}y \left(\int \mathrm{d}z\, f\left(x,y,z\right)\right)\right) . x , y und z muss man aus der Begrenzung des Volumens V ermitteln.Funktionalanalysis und theoretischen Physik betrachtet man auch mehrdimensionale Integrale die über den gesamten, unbeschränkten n -dimensionalen Raum laufen. Die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine Indikatorfunktion aufnimmt, die zum Beispiel außerhalb eines vorgegebenen Volumens V überall 0 ist.Transformationssatz . Sei \Omega \subset \mathbb{R}^d offen und \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^d eine injektive , stetig_differenzierbare Abbildung, für deren Funktionaldeterminante \det(D\Phi(x)) \neq 0 für alle x \in \Omega gilt. Dann ist\int_{\Phi(\Omega)} f(y)\, \mathrm{d}y = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left/'>\det(D\Phi(x))\right| \mathrm{d}x . = Beispiel: Berechnung von Volumen zwischen dem Graphen der Funktion f(x,y) = x^2+y Einheitsquadrat [0,1]\times[0,1] .x - und eines für die y -Koordinate:\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y = \int_0^1\int_0^1 (x^2+y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y =\int_0^1 \left[ \frac{1}{3}x^3 + yx \right]_{x=0}^1\;\mathrm{d}y = \int_0^1 \left( \frac{1}{3}+y \right) \mathrm{d}y = \left[ \frac{1}{3}y+\frac{1}{2}y^2 \right]_{y=0}^1 = \frac{5}{6}. = Oberflächenintegrale =Mannigfaltigkeit en beschrieben. Diese werden durch so genannte Karten beschrieben. Integration über ein Kartengebiet M eine d -dimensionalen Untermannigfaltigkeit des \mathbb{R}^n und U ein Kartengebiet in M , also eine offene Teilmenge in M , für die es eine Karte gibt, die sie diffeomorph auf eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^d abbildet. Ferner sei \gamma :\Omega \to U eine Parametrisierung von U , also eine stetig differenzierbare Abbildung, deren Ableitung vollen Rang hat, die \Omega homöomorph auf \gamma (\Omega) abbildet. Dann ist das Integral einer Funktion auf dem Kartengebiet U folgendermaßen definiert:\int_U f \mathrm{d}s := \int_{\Omega} f(\gamma(u)) \cdot \sqrt{g^{\gamma}(u)} \mathrm du g^{\gamma}(u) = \det ((\gamma '(u))^{\mathsf{T}}\cdot \gamma '(u)) die so genannte Gramsche Determinante ist. Das rechte Integral kann mit den oben geschrieben Methoden der mehrdimensionalen Integration ausgerechnet werden. Die Gleichheit folgt im wesentlichen aus dem Transformationssatz. Integration über eine Untermannigfaltigkeit Der gaußsche Integralsatz und der Satz von Stokes gaußsche_Integralsatz V \subset \mathbb{R}^n kompakt mit abschnittsweise glattem Rand \partial V . Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld \vec v . Sei ferner \vec F ein stetig differenzierbar es Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von V . Dann gilt\mathrm d \vec S = \vec v \mathrm dS .Satz von Stokes Differentialgeometrie ist und sich im Spezialfall des dreidimensionalen Raums schreiben lässt als:M eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen_Raumes \mathbb{R}^3 , so gilt, wobei \operatorname{rot}\;\mathbf{F} die Rotation eines Vektorfeldes F beschreibt: Verallgemeinerungen Maßtheorie Hauptartikel: Maßtheorie Integration auf Mannigfaltigkeiten Siehe: Differentialform Differentialgeometrie . Siehe auch Tabelle_einfacher_Ableitungs-_und_Stammfunktionen Algebraische Integration Stochastische Integration Binomisches Integral Literatur Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.Richard Courant : Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2 . Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971Otto Forster : Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Aufl. Vieweg-Verlag, 2004. ISBN 3-528-67224-2Analysis 3. Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-XKonrad Königsberger : Analysis . 2 Bände, Springer, Berlin 2004.Repetitorium der Analysis 1, 2 . 1. Auflage. Binomi Verlag, 1993,Mathematik für Ingenieure . Band 1. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2000Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure . Band 1Beiträge zur Theorie der Maxima und Minima der einfachen Integrale . Teubner, Leipzig 1866 ([http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN508796741 Digitalisat])Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe . Göttingen 1867 ([http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Trig/ Volltext]), mit der Erstdefinition des Riemann-Integrals (Seite 12ff.) Weblinks • mathe-online.at ? Ressourcen zum Thema Integrieren (Sekundarstufe 2/FHS/Uni) Anschauliche Erklärungen Applet zur Darstellung von Ober- und Untersummen für beliebige Funktionen Applet zur Visualisierung des Begriffs der Integralfunktion The Integrator ? Englische Seite zur Berechnung von Integralen Der Integrator ? Deutsche Seite zur Berechnung von bestimmten Integralen mit graphischer Darstellung der Fläche Einführung in die Integralrechnung für Schüler Teil 1 einer dreiteiligen Serie über Mehrfachintegrale (anschaulich+verständlich) ug:????????? zh-classical:?? VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE
