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Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus

Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

:$y\; =\; artanh(x)$
:$y\; =\; arcoth(x)$

Definition

Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens Hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung $(x,\; y)\; =\; (0,\; 0)$ und der Hyperbel $x^2-y^2=1$ überstreicht: Es seien $(x,\; -y)\; =\; \backslash left(x,\; -\backslash sqrt\{x^2-1\}\; \backslash right)$ und $(x,\; y)\; =\; \backslash left(x,\; +\backslash sqrt\{x^2-1\}\; \backslash right)$ Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungstrecke die Fläche $A=\{\backslash rm\; artanh\}\backslash left(\backslash frac\{y\}\{x\}\backslash right)$ überstrichen.

Eigenschaften

Reihenentwicklung

Die Taylorreihen:

Ableitung

:.
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; \{\backslash rm\; arcoth\}(x)=\; \backslash frac\{1\}\{1-x^2\}\; \backslash ,\; ;\; \backslash quad\; |x|\; >\; 1$.

Integral

Die Stammfunktionen lauten:

:$\backslash int\; \{\backslash rm\; artanh\}(x)\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x=x\backslash cdot\; \{\backslash rm\; artanh\}(x)\; +\backslash frac12\backslash ln(1-x^2)$.

:$\backslash int\{\backslash rm\; arcoth\}(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x=x\backslash cdot\{\backslash rm\; arcoth\}(x)+\backslash frac12\backslash ln\backslash left(x^2-1\backslash right)$

Siehe auch

Trigonometrische Funktionen
Kreis- und Hyperbelfunktionen.

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