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Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus

Areasinus Hyperbolicus (abgekürzt arsinh, asinh oder arsh) und Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt arcosh oder arch) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

Definition

Die Funktionen lassen sich durch die folgende Formeln ausdrücken:

Areasinus Hyperbolicus:

:$\{\backslash rm\; arsinh\}(x)\; =\; \backslash ln\backslash left(x\; +\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; 1\}\; \backslash right)$.

Areakosinus Hyperbolicus:

:$\{\backslash rm\; arcosh\}(x)\; =\; \backslash ln\backslash left(x\; +\; \backslash sqrt\{x^2\; -\; 1\}\; \backslash right)$.

Eigenschaften

Reihenentwicklung

Areasinus Hyperbolicus:


:Für |x| < 1 gilt:
::$\{\backslash rm\; arsinh\}(x)\; =\; x\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(2k-1)!!(-x^2)^k\}\{(2k)!!\; (2k+1)\}\; =\; x\; -\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; x^3\; +\; \backslash frac\{3\}\{40\}\; x^5\; -\; \backslash frac\{5\}\{112\}\; x^7\; +\; \backslash frac\{35\}\{1152\}\; x^9\; -\; \backslash dots$

:Für |x| > 1 gilt:
::$\{\backslash rm\; arsinh\}(x)\; =\; \{\backslash rm\; sgn\}(x)\; \backslash cdot\; \backslash left[\; \backslash ln(2|x|)\; -\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(2k-1)!!\}\{2k(2k)!!(-x^2)^k\}\; \backslash right]$

Areakosinus Hyperbolicus:

Ableitung

Die Trigonometrische Funktionen
Kreis- und Hyperbelfunktionen
Doppelfakultät: (!!)

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