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Archimedisches Axiom

Das sogenannte archimedische Axiom ist nach dem antiken Mathematiker Archimedes benannt, es ist aber älter und wurde schon von Eudoxos von Knidos in seiner Größenlehre formuliert. In moderner Präzisierung lautet es folgendermaßen:

:Zu je zwei Größen $y>x>0$ existiert eine natürliche Zahl $n\backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ mit $nx>y$.

Geometrisch lässt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die größere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug abträgt.

Ein (an)geordneter Körper, in welchem das Archimedische Axiom gilt, heißt archimedisch (an)geordnet.

Für den Körper $\backslash mathbb\{R\}$ der reellen_Zahlen wird es oft axiomatisch eingeführt. Man kann allerdings auch zuerst die Axiome eines geordneten_Körpers und zusätzlich das Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) fordern und zeigen, dass daraus bereits das Archimedische Axiom folgt.

Beweis aus dem Supremumsaxiom für einen geordneten Körper

Es sei $x>0.$

Behauptung: Für jedes $y>x$ gibt es eine natürliche Zahl $n$, so dass $nx>y$ gilt.

Gegenannahme: Es gibt ein $y>0$, so dass $nx\backslash leq\; y$ für alle natürlichen Zahlen $n.$

Dann ist $y$ eine obere Schranke für $nx$. Aus dem Supremumsaxiom folgt die Existenz einer kleinsten oberen Schranke $y\_0$. Weil nun , ist $y\_0-x$ keine obere Schranke, also gibt es eine natürliche Zahl $m$, so dass
:
gilt. Damit ist aber
:
womit die Gegenannahme falsch war und die Behauptung bewiesen ist.

Folgerungen aus dem archimedischen Axiom

Zu jeder Zahl $x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ gibt es $n\_1,n\_2\backslash in\backslash mathbb\{N\}$, so dass $n\_1>x$ und



Dabei wird $n$ mit $\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$ oder $\backslash operatorname\{floor\}(x)$ bezeichnet. Ebenso existiert eine eindeutig bestimmte Zahl $m\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$ mit



welche mit $\backslash lceil\; x\backslash rceil$ oder $\backslash operatorname\{ceil\}(x)$ bezeichnet wird.

Damit gilt auch: $\backslash forall\backslash epsilon>0\; \backslash ,\; \backslash exists\; n\backslash in\backslash mathbb\{N\}$ mit $n>1/\backslash epsilon$ und daher umgekehrt .

In der Analysis ist dieser Zusammenhang nützlich, um beispielsweise die Konvergenz oder Divergenz von Folgen nachzuweisen.

Nichtarchimedisch angeordnete Körper

Ein Beispiel für einen angeordneten Körper, in dem das Axiom des Archimedes nicht gilt, ist der in der Nichtstandardanalysis studierte Körper der hyperreellen_Zahlen.

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