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Aperiodischer Grenzfall

Der aperiodische Grenzfall beschreibt einen Dämpfungszustand eines harmonischen_Oszillators, bei dem der Oszillator in die Ausgangslage zurückschwingt, wenn er ohne Anfangsgeschwindigkeit aus einem ausgelenkten Zustand losgelassen wird.
Die Rückkehr in die Ausgangslage findet in minimal kurzer Zeit statt.

Beispiel: Gedämpfte schwingende Feder

Die Bewegungsgleichung einer gedämpft schwingenden Feder lautet:
:$$
m \ddot{x}+ R \dot{x}+ D x=0


mit der Auslenkung x, dem Reibungskoeffizienten R, der Masse m und der Federkonstanten D.

Üblicherweise identifiziert man $\backslash omega\_0\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{D\}\{m\}\}$ als die Eigenfrequenz des ungedämpften harmonischen_Oszillators und $\backslash delta\; =\; \backslash frac\{R\}\{2\; m\}$ als die Dämpfungskonstante, so dass sich für die Bewegungsgleichung eines gedämpften harmonischen Oszillators folgende Form ergibt:
:$$
\ddot{x}+ 2 \; \delta \; \dot{x}+ \omega_0^2 \; x=0


Diese Gleichung lässt sich mit dem Exponential-Ansatz $x(t)\; \backslash sim\; e^\{\backslash lambda\backslash cdot\; t\}$ und der
$\backslash \; p,q$ Formel lösen.
Es ergibt sich die charakteristische Gleichung:
:$$
\lambda^2 + 2\; \delta \cdot \lambda \;+ \omega_0^2 =0


Für $\backslash delta\; =\; \backslash omega\_0$ ergibt sich der aperiodische Grenzfall, da dann die Wurzel in der $\backslash \; p,q$ Formel zu 0 wird. Daher schwingt der Oszillator nicht periodisch, sondern kehrt in minimaler Zeit zur Ruhelage zurück.

Die allgemeine Lösung hat dann folgende Form:
:$$
x (t) = x_1 \cdot e^{\lambda \; t} + x_2 \cdot t \cdot e^{\lambda \; t}
;

Aufgrund des oben angeführten Lösungsansatztes $x(t)\; \backslash sim\; e^\{\backslash lambda\backslash cdot\; t\}$ sollte man nur die Lösung $x\; (t)\; =\; x\_1\; \backslash cdot\; e^\{\backslash lambda\; \backslash ;\; t\}$ erwarten.

Da nun aber für eine eindeutige Beschreibung des Schwingungssystems zwei Integrationskonstanten benötigt werden und der oben beschriebene Lösungsansatz nur eine Nullstelle liefert wird eine weitere Ansatzfunktion benötigt.

$x(t)\; \backslash sim\; t\; e^\{\backslash lambda\backslash cdot\; t\}$

Diese Ansatzfunktion hat dann mit der Bedingung $\backslash delta\; =\; \backslash omega\_0$ eine Lösung.

$x\; (t)\; =\; x\_2\; t\; \backslash cdot\; e^\{\backslash lambda\; \backslash ;\; t\}$

Nun stellen beide Lösungen addiert die gesamte Beschreibung des Einmassenschwingers im aperiodischen Grenzfall dar. Und ergeben sich tatsächlich in folgender Form

:$$
\lambda^2 + 2\; \delta \cdot \lambda \;+ \omega_0^2 =0


mit
:$$
\lambda = -\delta = -\omega_0
.

Dem aperiodischen Grenzfall entspricht ein Gütefaktor von Q = 0,5.

Als Beispiel für einen Einmassenschwinger lassen sich Traktoren anführen. Diese besitzen keine separat gefederten Achsen. Die gesamte Federung wird von den Reifen übernommen.

Ein normaler PKW wird aufgrund der zusätzlichen Achsfederung als Zweimassenschwinger betrachtet. Dieser ist dann ungleich komplexer.

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