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Annahmen der Regressionsschätzung

Damit die Regressionsschätzungen inferentiell analysiert werden können, müssen für das lineare Regressionsmodell bestimmte Annahmen erfüllt sein:

1. Bezüglich der Störgröße $\backslash epsilon\_i$
#Der Zufallsvektor $\backslash underline\{\backslash epsilon\}=(\backslash epsilon\_1,\backslash ldots,\backslash epsilon\_n)^T$ ist verteilt mit dem Erwartungswertvektor $0$, d.h. $E(\backslash underline\{\backslash epsilon\})=0$ .
#Die Zufallsvariablen $\backslash epsilon\_i$ sind stochastisch unabhängig voneinander d. h. $\backslash Sigma\_\backslash epsilon=\backslash mbox\{Cov\}(\backslash underline\{\backslash epsilon\})=\; \backslash sigma^2I\_n\backslash ;$, wobei $I\_n$ die $n$ dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet. Dies kann man genauer auch schreiben als

::::$\backslash mbox\{Cov\}(\backslash epsilon\_i,\backslash epsilon\_j)=\backslash delta\_\{ij\}\; \backslash sigma^2,\; i=1,\backslash ldots,\; n\backslash ;$ ,

::: wobei $\backslash delta\_\{ij\}$ das Kronecker-Delta bezeichnet. Hierbei gilt

::::$\backslash delta\_\{ij\}\; =\; \backslash begin\{cases\}$
1 & \mbox{falls} \ i=j \\
0 & \mbox{sonst}
\end{cases},

:::das heißt die Fehler sind unkorreliert mit homogener Varianz.

2. Die Datenmatrix $\backslash underline\{X\}$, welche im Abschnitt zur multiplen Regression explizit angegeben ist, ist fest vorgegeben.

3. Die Datenmatrix $\backslash underline\{X\}$ hat den Rang $(p+1)$.

*In der ersten Annahme haben also alle $\backslash epsilon\_i$ die gleiche Varianz (Homoskedastie) und sie sind paarweise unkorreliert (keine Autokorrelation). Man interpretiert dies so, dass die Störgröße keinerlei Information enthalten darf und nur zufällig streut. Deshalb kann $Y$ nur durch Informationen aus $\backslash underline\{X\}$ erklärt werden.
*Die zweite Annahme hält $\backslash underline\{X\}$ konstant.
*Die dritte Annahme ist für eine eindeutige Lösung des Regressionsproblems erforderlich.

Schätzen und Testen

Für die inferentielle Regression (Schätzen und Testen) wird noch die Information über die Verteilung der Störgröße $\backslash epsilon$ gefordert. Man hat hier eingeführt als zusätzliche Annahme zu den bereits weiter oben aufgeführten Annahmen

4. Die Störgröße $\backslash epsilon\_i$ ist normalverteilt.

Zusammen mit der 1. Annahme erhält man für die Verteilung des Vektors der Störgröße:

:$\backslash underline\; \backslash epsilon\; \backslash sim\; N(\backslash underline\; 0,\; \backslash sigma^2\; I\_n)$,

wobie $\backslash underline\{0\}$ den Nullvektor bezeichnet. Hier sind unkorrelierte Zufallsvariablen auch stochastisch unabhängig.
Da die interessierenden Schätzer zum größten Teil lineare Transformationen von $\backslash underline\{\backslash epsilon\}$ sind, sind sie ebenfalls normalverteilt mit den entsprechenden Parametern. Ferner ist die Quadratsumme der Residuen als nichtlineare Transformation χ²-verteilt mit $n-p$ Freiheitsgraden.

:{/'> border=1 style="border:0px"
| style="border:1px solid #448800; padding:0.4em; background-color:#EEFFEE" |
Beweisskizze:
Sei

:$\backslash underline\{w\}=\backslash underline\{Y\}-\backslash underline\{X\}\backslash underline\{\backslash beta\}$,

damit erhält man

:$\backslash underline\{w\}^T(I\_n-\backslash underline\{H\})\backslash underline\{w\}/\backslash sigma^2=(\backslash underline\{Y\}-\backslash underline\{X\}\backslash underline\{\backslash beta\})^T\; (I\_n-\backslash underline\{H\})\; (I\_n-\backslash underline\{H\})\backslash underline\{Y\}-\backslash underline\{X\}\backslash underline\{\backslash beta\}\; /\; \backslash sigma^2$

:$=\backslash underline\{Y\}^T\; (I\_n-\backslash underline\{H\})\backslash underline\{Y\}/\backslash sigma^2$

:$=SS\_\{Res\}\; /\; \backslash sigma^2\; \backslash sim\; \backslash chi^2\_\{n-p\}$.

Wobei

:$(I\_n\; -\; \backslash underline\{H\})\backslash underline\{X\}=0$ und der        VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE