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Andler-Formel

Die Andler-FormelKurt Andler: Rationalisierung der Fabrikation und optimale Losgrösse. München: R. Oldenbourg, 1929 (nach Kurt Andler 1929), auch klassische Losgrößenformel ist eine in der Betriebswirtschaftslehre verbreitete Formel zur Ermittlung der optimalen_Losgröße. Die Andler-Formel ist auch unter den Namen klassische Bestellmengenformel nach F. W. Harris (1913) How Many Parts to Make at Once Factory: The Magazine of Management 10(2): 135-136,152. Also reprinted in Operations Research 38(6): 947-950, 1990 oder kurz -Formel (nach , 1913) bekannt.

Grundlegende Annahmen und Definitionen

Prämissen des klassischen Losgrößenmodells:
# endliche Produktionsgeschwindigkeit (Lagerzugangsrate)
# kontinuierlicher Zeitablauf
# konstante deterministische Nachfrage (Lagerabgangsrate)
# konstanter Lagerhaltungskostensatz
# Lager mit unbegrenzter Lagerkapazität
# genau ein Produkt in genau einem Lager
# unendliche Lagerzugangsgeschwindigkeit bei einstufiger Fertigung
# keine Fehlmengen erlaubt
# unendlicher Planungshorizont
# beliebige Teilbarkeit der LosgrößeVariable:
* $q$ - Losgröße
* $T$ - Reichweite oder das Bestellintervall
Daten:
* $d$ - Lagerabgangsrate
* $x$ - endliche Produktionsgeschwindigkeit mit $x\; >\; d$
* $C\_R$ - losfixe_Kosten (z.B. Rüstkostensatz)
* $C\_L$ - losvariable_Kosten (z.B. Lagerhaltungskostensatz)

Die optimale Losgröße liegt nun dort vor, wo die Summe aller kontrollierbaren Kosten, also aus Beschaffungskosten und Lagerkosten, ein Minimum erreicht.

Herleitung

Anmerkung: Zur besseren Lesbarkeit des Artikels wird im folgenden der analoge Bestellfall nicht mehr explizit genannt, sondern es wird nur noch vom Produktionsfall gesprochen.

Die Losgröße wird bestimmt durch:

$q\; =\; T\; \backslash cdot\; d$

Das betriebswirtschaftliche Ziel ist es bei bekannter Lagerabgangsrate $d$, die beiden Variablen $q$ und $T$ so zu wählen, dass die Summe aus bestellfixen Kosten und den variablen Lagerhaltungskosten minimal wird.

Dazu gliedert man die Reichweite $T$ auf in:
# den Produktionszyklus $t\_p$ Hier wird mit einer Rate $x$ produziert. Die Auffüllrate des Lagers $r$ ist $r\; =\; x-d$
# den Lagerabgangzyklus $t\_a$ mit der Abgangsrate $d$. Es gilt $t\_a\; =\; T\; -\; t\_p$

Die Kostenfunktion ist somit eine Summe aus den losfixen Kosten und den variablen Lagerhaltungskosten:

$K\; =\; C\_R\; +\; C\_L\; \backslash cdot\; T\; \backslash cdot\; \{L\; \backslash over\; 2\}$

wobei $L\; \backslash over\; 2$ den durchschnittlichen Lagerbestand darstellt.

$mit:\; \backslash quad\; L\; =\; q\; \backslash cdot\; \backslash left(1\; -\; \{d\; \backslash over\; x\}\backslash right)$

$gilt:\; \backslash quad\; K\; =\; C\_R\; +\; C\_L\; \backslash cdot\; T\; \backslash cdot\; \{q\; \backslash over\; 2\}\; \backslash cdot\; \backslash left(1\; -\; \{d\; \backslash over\; x\}\backslash right)$

Um die Kosten pro Zeit ($k$) zu erhalten, wird durch $T$ geteilt und $T\; =\; \{q\; \backslash over\; d\}$ eingesetzt.

$k\; =\; \{C\_R\; \backslash cdot\; d\; \backslash over\; q\}\; +\; C\_L\; \backslash cdot\; \{q\; \backslash over\; 2\}\; \backslash cdot\; \backslash left(1\; -\; \{d\; \backslash over\; x\}\backslash right)$Nun ist das Minimum dieser Funktion zu bestimmen.

$\{dk\; \backslash over\; dq\}\; =\; -\{C\_R\; \backslash cdot\; d\; \backslash over\; q^2\}\; +\; \{C\_L\; \backslash over\; 2\}\; \backslash cdot\; \backslash left(1\; -\; \{d\; \backslash over\; x\}\backslash right)\; =\; 0$

Durch einfache Umformung erhält man die optimale Losgröße $q\_o$

$q\_o\; =\; \backslash sqrt[2]$

Durch einsetzen von $q\_o$ in die zweite Ableitung wird überprüft, ob ein lokaler Tiefpunkt vorliegt. Mit Hilfe von $q\_o\; =\; T\_o\; \backslash cdot\; d$ lässt sich das optimale Bestellintervall berechnen.

Formel

Die Formel zur Berechnung der optimalen Bestellmenge lautet $Q^o=\backslash sqrt$

:$x$: Gesamtbedarf für die Rechnungsperiode (ein Jahr)
:$B$: fixe Bestellkosten, (Transportkosten), Kosten je Bestellung
:$e$: Einstandspreis, Einkaufspreis, Einkaufskosten
:$i$: Lagerkostenzinssatz

Beispiel

:$x$ = 2.400 Stück/Jahr
:$B$ = 100 ?
:$e$ = 40

:$i$ = 20 %

Die Andler-Formel für die optimale Bestellmenge ermittelt nun folgenden Wert:

:$Q^o=\backslash sqrt$ = 244,95 ? 245 Stück

Bewertung und Grenzen

Das klassische Losgrößenmodell hat eine grundlegende Prämisse (wie z.B. konstante Abgangsrate vom Lager), die in der Realität nicht oder nur sehr selten anzutreffen sind. Somit ist das Modell in seiner Anwendung durch die strengen und sehr praxisfernen Annahmen, die getroffen wurden, stark begrenzt. Die Andler-Formel hat eher Lehrbuchcharakter als einen praktischen Nutzen.

Die beschriebenen Verläufe der Kostenfunktionen haben aber zur Entwicklung von heuristischen Verfahren geführt. Von mehr als 30 heuristischen Verfahren sind besonders die zwei leistungsfähigen Varianten Silver-Meal-Heuristik und Groff-Heuristik zu nennen.Günther, Tempelmeier: Produktion und Logistik 6. Auflage. Springer-Verlag 2005; S. 203ff. ISBN 3-540-23246-X

Quellen

       VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE