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Analytische Funktion

Als analytisch bezeichnet man in der Mathematik eine Funktion, die lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Aufgrund der Unterschiede zwischen reeller und komplexer Analysis spricht man zur Verdeutlichung oft auch explizit von reell-analytischen oder komplex-analytischen Funktionen. Im Komplexen sind die Eigenschaften analytisch und holomorph äquivalent. Ist eine Funktion in der gesamten komplexen Ebene definiert und analytisch, nennt man sie ganz.

Definition

Es sei $\backslash mathbb\; K=\backslash mathbb\; R$ oder $\backslash mathbb\; K=\backslash mathbb\; C$. Es sei $D\backslash subseteq\backslash mathbb\; K$ eine offene_Teilmenge. Eine Funktion $f\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; K$ heißt analytisch, wenn es zu jedem Punkt $x\_0\backslash in\; D$ eine Potenzreihe
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-x\_0)^n$
gibt, die auf einer Umgebung von $x\_0$ gegen $f$ konvergiert.

Eigenschaften

Eine analytische Funktion ist beliebig oft differenzierbar, und es gilt
: $a\_n\; =\; \backslash frac\{f^\{(n)\}(x\_0)\}\{n!\}$.
Die lokale Potenzreihendarstellung ist also die Taylorreihe von $f$. Summen, Produkte, Quotienten (sofern der Nenner keine Nullstellen hat) und Verkettungen analytischer Funktionen sind analytisch.

Ist $D$ zusammenhängend und besitzt die Menge der Nullstellen einer analytischen Funktion $f\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; K$ einen Häufungspunkt in $D$, so ist $f$ die Nullfunktion. Sind entsprechend $f,g\backslash colon\; D\backslash to\backslash mathbb\; K$ zwei Funktionen, die auf einer Menge übereinstimmen, die einen Häufungspunkt in $D$ besitzt, z.B. auf einer offenen Teilmenge, so sind sie identisch.

Reelle Funktionen

Die meisten gängigen Funktionen der reellen Analysis wie beispielsweise Polynome, Exponential- und Logarithmusfunktionen, trigonometrische Funktionen und rationale Ausdrücke in diesen Funktionen sind analytisch.

Es gibt jedoch eine wichtige Klasse nicht analytischer Funktionen, die Funktionen mit kompaktem Träger. Der Träger einer Funktion ist der Abschluss der Menge der Punkte, an denen eine Funktion nicht verschwindet:
: $\backslash overline\{\backslash \{x\backslash mid\; f(x)\backslash not=0\backslash \}\}$.
Ist der Träger kompakt, so spricht man von einer Funktion mit kompaktem Träger. Für Funktionen, die auf ganz $\backslash mathbb\; R$ definiert sind, ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Zahl $C>0$ gibt, so dass $f(x)=0$ für alle $x$ mit $|x|>C$ gilt.

Wäre also eine Funktion mit kompaktem Träger analytisch, so wäre sie identisch 0, da sie für große $x$ mit der Nullfunktion übereinstimmt.

Jede analytische Funktion $\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$ kann zu einer komplex-analytischen, also holomorphen Funktion auf einer Umgebung von $\backslash mathbb\; R\backslash subset\backslash mathbb\; C$ ausgedehnt werden.

Beispiele nicht analytischer Funktionen

Die Funktion
:
ist für alle $x$ aus $\backslash mathbb\{R\}$, auch im Punkt 0, beliebig oft differenzierbar. Aus $f^\{(n)\}(0)\; =\; 0$ für alle $n$ folgt die Taylor-Reihe von $f$,
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \{0\backslash over\; n!\}x^n\; =\; 0$,
die, außer im Punkt $x\; =\; 0$, nicht mit $f(x)$ übereinstimmt. Somit ist $f$ im Punkt 0 nicht analytisch.

Auch die Funktion
:
ist beliebig oft differenzierbar. Alle Ableitungen der beiden Teilfunktionen im Nullpunkt sind 0, passen also zusammen.

Die Funktion
:
ist eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger $[0,1]$.

Komplexe Funktionen

In der Funktionentheorie wird gezeigt, dass eine Funktion $f$ einer komplexen Variablen, die in einer offenen Kreisscheibe $D$ diffenzierbar ist, in der gleichen offenen Umgebung $D$ unendlich oft differenzierbar ist, und dass die Potenzreihe um den Mittelpunkt $c$ der Kreisscheibe,

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \{f^\{(n)\}(c)\; \backslash over\; n!\}\; (z-c)^n$,

für jeden Punkt $z$ aus $D$ gegen $f(z)$ konvergiert. Dies ist ein wichtiger Aspekt, unter dem Funktionen in der komplexen Ebene einfacher zu handhaben sind als Funktionen einer reellen Variablen. Tatsächlich benutzt man in der Funktionentheorie die Attribute analytisch und holomorph und oft auch regulär synonym. Aus den ursprünglichen Definitionen dieser Begriffe ist ihre Äquivalenz nicht sofort erkennbar; sie wurde erst später nachgewiesen. Analytische Funktionen, die nur reelle Werte annehmen, sind konstant. Eine Folgerung aus den Cauchy-Riemannschen_Differentialgleichungen ist, dass der Realteil einer analytischen Funktion den Imaginärteil bis auf eine Konstante bestimmt und umgekehrt.

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