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Analytische Fortsetzung

In der Funktionentheorie bedeutet die analytische Fortsetzung das Fortsetzen einer holomorphen Funktion bzw. eines holomorphen Funktionskeims. Dabei wird unterschieden zwischen der Fortsetzung des Keimes entlang eines Weges und der Fortsetzung zu einer Funktion auf einem Gebiet.

Keim

Um eine präzise Definition einer analytischen Fortsetzung zu geben, müssen zuerst die Begriffe Halm und Funktionskeim erläutert werden: Sei $X$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $a\; \backslash in\; X$ ein Punkt. Zudem seien $U,\; V$ zwei Umgebungen von $a$ und $f\; :\; U\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{C\},\; \backslash ;\; g\; :\; V\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{C\}$ zwei holomorphe Funktionen. Die beiden Funktionen heißen äquivalent im Punkt $a$, falls eine Umgebung $W\; \backslash subseteq\; U\; \backslash cap\; V$ von $a$ existiert mit $f/\text{'}>W\; =\; g|W$. Die Menge all dieser Äquivalenzklassen wird als Halm $\backslash mathcal\{O\}\_a$ bezeichnet, die Äquivalenzklassen als (Funktions-)Keime. Die Projektion einer Funktion $f$ auf ihren Keim im Punkt $a$ wird mit $\backslash rho\_a(f)$ notiert.

Der Halm $\backslash mathcal\{O\}\_a$ trägt auf natürliche Weise die Struktur einer $\backslash mathbb\{C\}$-Algebra. Er ist isomorph zur $\backslash mathbb\{C\}$-Algebra der in $a$ konvergenten zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit, $a\; \backslash in\; X$ ein Punkt und $\backslash varphi\; \backslash in\; \backslash mathcal\{O\}\_a$ ein Funktionskeim. Das Quadrupel $(Y,\; p,\; f,\; b)$ heißt eine analytische Fortsetzung von $\backslash varphi$, falls gilt:
* $Y$ ist eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit.
* $p:\; Y\; \backslash rightarrow\; X$ ist eine holomorphe Abbildung und ein lokaler Homöomorphismus.
* $f:\; Y\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{C\}$ ist eine holomorphe Funktion.
* $b\; \backslash in\; Y$ so, dass $p(b)\; =\; a$ und $\backslash rho\_b(f)\; =\; \backslash varphi\; \backslash circ\; p$, wobei $\backslash rho\_b(f)$ die Projektion von $f$ auf die Äquivalenzklasse ihres Keims in $b$ bezeichnet.

Die auf diese Weise definierte analytische Fortsetzung hängt mit der Fortsetzung entlang eines Weges zusammen:
Wenn $c:[0,\; 1]\; \backslash rightarrow\; Y$ ein Weg mit Anfangspunkt $c(0)\; =\; b$ und Endpunkt $c(1)\; =\; d$ ist, dann
ist $p\; \backslash circ\; c\; :\; [0,\; 1]\; \backslash rightarrow\; X$ ein Weg mit Anfangspunkt $a\; =\; p(b)$ und Endpunkt $p(d)$. Die Funktion $f\; :\; Y\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{C\}$ definiert in einer Umgebung von $p(d)$ durch $f\; \backslash circ\; p^\{-1\}$ einen Funktionskeim in $\backslash mathcal\{O\}\_\{p(d)\}$.

Beispiel

$X\; =\; \backslash mathbb\{C\},\; a\; =\; 1$ und sei $\backslash varphi$ der Keim in $1$ desjenigen Zweiges der holomorphen Quadratwurzel mit $\backslash sqrt\{1\}\; =\; 1$. Analytische Fortsetzungen davon beispielsweise sind:
* Die durch die Taylorreihe $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^\{n\}(2n)!\}\{(1-2n)n!^2\; 4^n\}(x-1)^n$ um $1$ in der offenen Kreisscheibe $B(1,1)$ definierte Funktion $f\; :\; Y\; =\; B(1,1)\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{C\}$. Die Projektion $p:\; Y\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{C\}$ ist die natürliche Inklusionsabbildung.
* Der Hauptzweig der Quadratwurzel, definiert auf der geschlitzten komplexen Ebene $Y\; :=\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash setminus\; \backslash left\backslash \{z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash ,:\backslash ,\; \backslash mathrm\{Im\}\backslash ,z\; =\; 0,\; \backslash ;\; \backslash mathrm\{Re\}\backslash ,z\; \backslash leq\; 0\; \backslash right\backslash \}$, wobei $p\; :\; Y\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{C\}$ wieder die natürliche Inklusionsabbildung ist.
* Der Hauptzweig der Quadratwurzel, definiert auf der geschlitzten komplexen Ebene $Y\; :=\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash setminus\; \backslash left\backslash \{z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash ,:\backslash ,\; \backslash mathrm\{Im\}\backslash ,z\; \backslash geq\; 0,\; \backslash ;\; \backslash mathrm\{Re\}\backslash ,z\; =\; 0\; \backslash right\backslash \}$, wobei $p\; :\; Y\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{C\}$ wieder die natürliche Inklusionsabbildung ist.

Alle Beispiele haben gemeinsam, dass $Y$ als Teilmenge von $X\; =\; \backslash mathbb\{C\}$ aufgefasst werden kann. Die beiden letzten Beispiele zeigen zudem, dass es innerhalb von $\backslash mathbb\{C\}$ kein größtes Gebiet gibt, auf dem die Funktion holomorph fortgesetzt werden kann. Die Frage nach der größtmöglichen Fortsetzung führt zur Definition der maximalen analytischen Fortsetzung:

Maximale Analytische Fortsetzung

right|thumb
Sei $X$ eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit, $a\; \backslash in\; X$ ein Punkt und $\backslash varphi\; \backslash in\; \backslash mathcal\{O\}\_a$ ein Funktionskeim. Eine analytische Fortsetzung $(Y,\; p,\; f,\; b)$ von $\backslash varphi$ heißt maximale analytische Fortsetzung, falls für jede andere analytische Fortsetzung $(Z,\; q,\; g,\; c)$ von $\backslash varphi$ gilt: Es existiert eine holomorphe Abbildung $F:\; Z\; \backslash rightarrow\; Y$ mit $f\; \backslash circ\; F\; =\; g$, $F(c)\; =\; b$ und $q\; =\; p\; \backslash circ\; F$.

Existenz und Eindeutigkeit

Direkt aus der Definition folgt die Eindeutigkeit der maximalen analytischen Fortsetzung bis auf holomorphe Isomorphie. Die Existenz kann mit Hilfe der Garbentheorie gezeigt werden: $Z$ ist die Zusammenhangskomponente des Überlagerungsraumes der Garbe der holomorphen Funktionen $\backslash mathcal\{O\}$, welche ein fest gewähltes Urbild des Keimes $\backslash varphi$ enthält.

Beispiel

$X\; =\; \backslash mathbb\{C\},\; \backslash ;\; a\; =\; 1$ und $\backslash varphi$ sei der Keim desjenigen Zweiges der holomorphen Quadratwurzel mit $\backslash sqrt\{1\}\; =\; 1$. Die maximale analytische Fortsetzung $(Y,b,p,f)$ ist gegeben durch:
:$Y\; :=\; \backslash left\backslash \{(y\_1,y\_2)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^2\; \backslash ,:\backslash ,\; y\_2\; =\; y\_1^2,\; y\_1\; \backslash neq\; 0\; \backslash right\backslash \}\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{C\}^2$
:$a\; =\; (1,1)$
:$p(y\_1,\; y\_2)\; =\; y\_2$
:$f(y\_2,\; y\_2)\; =\; y\_1$
Zu einer anderen analytischen Fortsetzung $(Z,\; q,\; g,\; c)$ wird die Abbildung $F:Z\; \backslash rightarrow\; Y$ definiert durch $F(z)\; :=\; \backslash left(g(z),\; q(z)\backslash right)$.

Literatur

* Hans Grauert, Klaus Fritzsche: Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Springer-Verlag, Berlin 1974, ISBN 3-540-06672-1 u. ISBN 0-387-06672-1
* Otto Forster: Riemannsche Flächen''. Springer-Verlag 1977. (vergriffen; engl. Übersetzung lieferbar, ISBN 0-387-90617-7 )
lmo:Cuntinuazziun analítica

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