Bellman-Ford-Algorithmus
Der Algorithmus von Bellman und Ford (nach seinen Erfindern Richard Bellman und Lester Ford) ist ein Algorithmus der Graphentheorie und dient der Berechnung der kürzesten_Wege ausgehend von einem Startknoten in einem kantengewichteten_Graphen. Gelegentlich wird auch vom Moore-Bellman-Ford-Algorithmus gesprochen, da auch Edward Moore zu seiner Entwicklung beigetragen hat.Anders als beim Algorithmus von Dijkstra, dem bekanntesten Verfahren zur Suche nach kürzesten Wegen in Graphen, können die Gewichte der Kanten auch negativ sein. Zyklen negativer Länge, die vom Startknoten aus erreichbar sind, müssen jedoch ausgeschlossen werden können, da diese sonst beliebig oft durchlaufen und so immer kürzere Wege konstruiert werden könnten. Der Algorithmus vermag jedoch Zyklen negativer Länge zu erkennen.
Die Laufzeit des Algorithmus ist in O(n·m), wobei n die Anzahl der Knoten und m die Anzahl der Kanten im Graphen sind. Falls ein Knoten vom Startknoten aus nicht erreichbar ist, wird der Abstand formal als unendlich gesetzt.
Algorithmus
G bezeichnet den gewichteten Graphen mit V als Knotenmenge und E als Kantenmenge. Gewicht ist die Gewichtsfunktion des Graphen und bestimmt die Distanz von zwei Knoten, die durch eine Kante verbunden werden. s ist der Startknoten, von dem ausgehend die kürzesten Wege zu allen anderen Knoten berechnet werden, und n ist die Anzahl der Knoten in V.
Wenn die Ausführung des Algorithmus' endet, kann der Ausgabe entnommen werden, ob G einen Zyklus negativer Länge besitzt. Falls dies nicht der Fall ist, enthält Distanz die Abstände aller Knoten zu s. Um von einem Knoten auf dem kürzesten Weg zum Startknoten s zu gelangen muss man also so lange den Knoten besuchen, der durch Vorgänger(v) gegeben ist, bis man s erreicht hat. Genauer gesagt wird durch Vorgänger ein Spannbaum definiert, der die von s aus ausgehenden minimalen Wege in Form eines In-Trees speichert.
01 für jedes v aus V
02 Distanz(v) := unendlich, Vorgänger(v) := kein
03 Distanz(s) := 0
04 wiederhole n - 1 mal
05 für jedes (u,v) aus E
06 wenn Distanz(u) + Gewicht(u,v) < Distanz(v)
07 dann
08 Distanz(v) := Distanz(u) + Gewicht(u,v)
09 Vorgänger(v) := u
10 für jedes (u,v) aus E
11 wenn Distanz(u) + Gewicht(u,v) < Distanz(v) dann
12 STOP mit Ausgabe "Zyklus negativer Länge gefunden"
13 Ausgabe Distanz
Grundlegende Konzepte und Verwandtschaften
Im k-ten Schleifendurchlauf (04 - 09) wird der Abstand des kürzesten Weges mit maximal k Kanten berechnet. Ein Weg ohne Zyklen enthält maximal n Knoten, also n - 1 Kanten. Falls in (10 - 12) festgestellt wird, dass ein Weg nicht optimal ist, muss dieser folglich einen Zyklus mit negativem Gewicht enthalten.
Schneller als der Bellman-Ford-Algorithmus ist der Algorithmus von Dijkstra, ein Greedy-Algorithmus zur Suche kürzester Wege, der sukzessive den nächstbesten Knoten, der einen kürzesten Weg besitzt, in eine Ergebnismenge (Priority Queue) aufnimmt. Sein Nachteil besteht jedoch darin, dass er als Eingabe nur Graphen mit nichtnegativen Gewichten zulässt. Der A*-Algorithmus erweitert den Algorithmus von Dijkstra um eine Abschätzfunktion. Ein anderes Verfahren zur Suche kürzester Wege, das sich auf das Optimalitätsprinzip von Bellman stützt, ist der Floyd-Warshall-Algorithmus.
Anwendungen
Der Bellman-Ford-Algorithmus findet unter anderem im Distanzvektoralgorithmus, einem dynamischen Routing-Algorithmus, Verwendung. Dieser wird z.B. vom Routing Information Protocol eingesetzt, mit dem Routingtabellen innerhalb einer administrativen Netzwerkdomain dynamisch erstellt werden (Interior Gateway Protocol)
Literatur
* L. R. Ford: Network flow theory, Paper P-923. The Rand Corporation, Santa Monica 1956
* R. E. Bellman: On a Routing Problem. In: Quarterly of Applied Mathematics. 16(1)/1958. Brown University, S. 87-90,
* E. F. Moore: The shortest path through a maze. In: Proceedings of the International Symposium on the Theory of Switching. 2/1959. Harvard University Press, S. 285-292
* L. R. Ford, D. R. Fulkerson: Flows in Networks., Princeton University Press, Princeton 1962, ISBN 0-691-07962-5
Andere Verfahren zur Berechnung kürzester Pfade
• von Dijkstra]
• Floyd-Warshall-Algorithmus
Weblinks
*' target='blank'>[http://links.math.rpi.edu/applets/appindex/graphtheory.html Ein interaktives Java-Applet zur Demonstration
