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Algebraisches Element

Die Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten_Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von algebraischen und transzendenten_Zahlen.

Ist L/K eine Körpererweiterung, dann heißt ein Element a von L algebraisch über K, wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in K gibt, das a als Nullstelle hat. Ein Element, für das kein solches Polynom existiert, heißt transzendent über K.

Für die Erweiterung $\backslash Bbb\; C\; /\; \backslash Bbb\; Q$ stimmen diese Begriffe mit denen der algebraischen bzw. transzendenten Zahl überein.

Beispiele

* Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über $\backslash Bbb\; Q$, denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms $X^2-2$, dessen Koeffizienten rational sind.
* Die Kreiszahl ? und die Eulersche Zahl $e$ sind transzendent über $\backslash Bbb\; Q$, aber algebraisch über $\backslash Bbb\; R$, denn sie sind als reelle Zahlen definiert. Allgemeiner gilt:
* Jedes Element a des Körpers K ist algebraisch über K, denn es ist Nullstelle des linearen Polynoms $X-a$.
* Jede komplexe Zahl, die sich durch rationale Zahlen, die Grundrechenarten +,-,*,/ und Wurzelziehen (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über $\backslash Bbb\; Q$.
* Aus der Galoistheorie folgt aber andererseits, dass es über $\backslash Bbb\; Q$ algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen; vergleiche hierzu den Satz von Abel-Ruffini.
* Über dem Körper $\backslash Bbb\; Q\_p$ der p-adischen_Zahlen ist e (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für p>2 ist e^p und für p=2 ist e⁴ in $\backslash Bbb\; Q\_p$ enthalten.
* Bildet man zu einem beliebigen Körper K den Körper der Formalen_Laurentreihen K((X)), so ist die formale Variable X ein transzendentes Element dieser Erweiterung.

Eigenschaften

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element a aus L (einem Oberkörper von K):
* a ist algebraisch über K
* die Körpererweiterung K(a)/K hat endlichen Grad, d.h. K(a) ist als K-Vektorraum endlichdimensional.
* K[a] = K(a).
Dabei ist K[a] die Ringadjunktion von a an K, die aus allen Elemente von L besteht, die sich als g(a) mit einem Polynom g über K schreiben lassen; K(a) ist dessen Quotientenkörper in L und besteht aus allen Elementen von L, die sich als g(a)/h(a) mit Polynomen g und h über K (h(a) ungleich 0) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über K algebraischen Elementen wieder algebraisch über K sind. Die Menge aller über K algebraischen Elemente von L bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung L/K, den so genannten algebraischen_Abschluss in L.

Minimalpolynom

Ist a algebraisch über K, dann gibt es viele Polynome $g\backslash in\; K[X]$ mit $g(a)=0$. Es gibt aber genau ein normiertes Polynom von kleinstem Grad mit Nullstelle a, dieses heißt das Minimalpolynom von a über K. Aus ihm kann man viele Eigenschaften von a ablesen. Zum Beispiel ist der Grad dieses Polynoms gleich dem Erweiterungsgrad von $K(a)/K$.

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