Algebraischer Abschluss
In der Algebra ist der algebraische Abschluss eines Körpers K eine algebraisch abgeschlossene algebraische Erweiterung von K.Mit Hilfe von Zorns_Lemma kann man beweisen, dass jeder Körper K einen algebraischen Abschluss hat, und dass dieser Abschluss eindeutig im folgenden Sinne ist: Hat man zwei algebraische Abschlüsse L und M von K, dann gibt es einen (im Allgemeinen nicht-kanonischen) Körper-Isomorphismus f:L->M, der K punktweise fest lässt (also f(x)=x für alle x in K).
Auch wenn der algebraische Abschluss bis auf Isomorphie eindeutig ist, ist es im Allgemeinen problematisch, von dem algebraischen Abschluss von K zu sprechen.
Der algebraische Abschluss C von K ist die größte algebraische Erweiterung von K, denn ist L irgendeine algebraische Erweiterung von K, dann ist der algebraische Abschluss von L auch einer von K, also ist L ein Teilkörper von C.
Der algebraische Abschluss C ist auch die kleinste algebraisch abgeschlossene Erweiterung von K, denn ist M eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung von K, dann bilden die über K algebraischen Elemente von M einen algebraischen Abschluss von K, also liegt C in M.
Der algebraische Abschluss von K hat dieselbe Mächtigkeit wie K, falls K unendlich ist, und ist abzählbar, falls K endlich ist.
Beispiele:
* Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein algebraischer Abschluss der reellen_Zahlen der Körper der komplexen_Zahlen ist. Ist ein anderer algebraischer Abschluss von , und sind j1 und j2 = −j1 die Lösungen von x2 = −1 in , so gibt es zwei Möglichkeiten, und miteinander zu identifizieren: Entweder i = j1 oder i = j2, und diese beiden Möglichkeiten sind gleichberechtigt.
* Ein algebraischer Abschluss der rationalen_Zahlen ist der Körper der algebraischen_Zahlen.
* Es gibt viele abzählbare algebraisch abgeschlossene echte Oberkörper der algebraischen Zahlen in . Sie sind algebraische Abschlüsse transzendenter_Erweiterungen von .
* Für einen endlichen Körper Fp der Primzahl-Ordnung p ist der algebraische Abschluss ein abzählbar unendlicher Körper der Charakteristik p, und enthält für jede natürliche Zahl n einen Teilkörper der Ordnung pn (er besteht sogar aus der Vereinigung dieser Teilkörper).
