Algebraische Zahlentheorie
Die algebraische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, welche wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist.Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen bzw. rationalen Zahlen hinaus und betrachtet algebraische Zahlkörper, das sind endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen. Elemente von Zahlkörpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die Ganzheitsringe. Sie verhalten sich in vieler Hinsicht wie der Ring der ganzen Zahlen, aber manche Eigenschaften nehmen eine etwas andere Form an. Beispielsweise gibt es im Allgemeinen keine eindeutige Zerlegung in Primzahlen mehr, sondern nur noch in Primideale.
Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich weiterhin mit dem Studium algebraischer Funktionenkörper über endlichen_Körpern, deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkörper verläuft. Algebraische Zahl- und Funktionenkörper werden unter dem Namen »globale_Körper« zusammengefasst.
Oftmals stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen »lokal«, d.h. für jede Primzahl einzeln zu betrachten (Lokal-global-Prinzip). Dieser Vorgang führt im Fall der ganzen Zahlen zu den p-adischen_Zahlen, allgemeiner zu lokalen_Körpern.
Weiterführende Begriffe
Dedekindring
Globaler Körper
Lokaler Körper
Klassenkörpertheorie
Literatur
folgende Bücher lohnen sich zu lesen, es sind aber allgemeine zahlentheoretische Vorkenntnisse von großem Vorteil:
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.
Serge Lang: Algebraic Number Theory. Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-94225-4.
W?adys?aw Narkiewicz: Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers. Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-21902-1.
J._Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: Cohomology of number fields. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1999, ISBN 3-540-666-710.
Ian Stewart, David Tall: Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem. 3rd Edition. Natick (MA, USA) 2002. A K Peters. ISBN 1-56881-119-5
Weblinks
[http://mitschau.edu.lmu.de/video_online/vorlesungen/wise2003_2004/zahlentheorie1/index.php Online-Vorlesung über algebraische Zahlentheorie]
