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Algebraische Varietät

In der klassischen algebraischen_Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine algebraische Varietät ein geometrisches Objekt, das durch Polynomgleichungen beschrieben werden kann.

Es sei $k$ ein fester, algebraisch abgeschlossener Körper.

Eine affine algebraische Menge ist eine Teilmenge eines affinen_Raums $k^n$, die die Form
:$\backslash \{x\backslash in\; k^n\backslash mid\; f\_1(x)=\backslash ldots=f\_k(x)=0\backslash \}$
für eine (endliche) Menge $\backslash \{f\_1,\backslash ldots,f\_k\backslash \}$ von Polynomen in $k[X\_1,\backslash ldots,X\_n]$ hat. (Hilberts Basissatz sagt aus, dass man jedes unendliche System von Polynomgleichungen durch ein dazu äquivalentes mit endlich vielen Gleichungen ersetzen kann.)

Die affinen algebraischen Mengen können als abgeschlossene Mengen einer Topologie aufgefasst werden, der Zariski-Topologie.

Eine affine algebraische Varietät ist eine irreduzible algebraische Menge, d.h. eine algebraische Menge, die nicht als nichttriviale Vereinigung zweier algebraischer Mengen geschrieben werden kann. Formal ist damit gemeint, dass $Z$ irreduzibel heißt, wenn in jeder Zerlegung $Z=Y\_1\backslash cup\; Y\_2$ als Vereinigung zweier algebraischer Mengen $Y\_1,Y\_2$ stets $Y\_1\backslash subseteq\; Y\_2$ oder $Y\_2\backslash subseteq\; Y\_1$ gilt.

Affine algebraische Mengen stehen in enger Beziehung zur Idealtheorie im Polynomring $k[X\_1,\backslash ldots,X\_n]$:
* Einer algebraischen Menge $Z\backslash subseteq\; k^n$ wird das Ideal
::$I(Z):=\backslash \{f\backslash in\; k[X\_1,\backslash ldots,X\_n]\backslash mid\; f(x)=0\backslash \; \backslash mathrm\{f\backslash ddot\; ur\backslash \; alle\}\backslash \; x\backslash in\; Z\backslash \}$
:zugeordnet.
* Einem Ideal $I\backslash subseteq\; k[X\_1,\backslash ldots,X\_n]$ wird die algebraische Menge
::$V(I):=\backslash \{x\backslash in\; k^n\backslash mid\; f(x)=0\backslash \; \backslash mathrm\{f\backslash ddot\; ur\backslash \; alle\}\backslash \; f\backslash in\; I\backslash \}$
:zugeordnet.
Hilberts Nullstellensatz sagt nun aus, dass diese beiden Abbildungen "beinahe" eine Bijektion bilden.

Dabei entsprechen sich die folgenden Begriffe und Konstruktionen:Diese enge Beziehung zur Höhe des entsprechenden Primideals.

Siehe auch

Kurve (algebraische Geometrie)
Schema (algebraische Geometrie)

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