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Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer_Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe_der_invertierbaren_n×n-Matrizen.

Definition

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen_Varietäten über einem festen Körper, d.h. eine Varietät $G$ über einem Körper $k$ zusammen mit
* einem Morphismus $m\backslash colon\; G\backslash times\; G\backslash to\; G$ (Multiplikation)
* einem Morphismus $i\backslash colon\; G\backslash to\; G$ (inverses Element)
* und einem ausgezeichneten Punkt $e\backslash in\; G(k)$ (neutrales Element),
so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Assoziativgesetz: $m\backslash circ(m\backslash times\backslash mathrm\{id\}\_G)=m\backslash circ(\backslash mathrm\{id\}\_G\backslash times\; m)$;
* neutrales Element: $m\backslash circ(\backslash mathrm\{id\}\_G\backslash times\; e)=\backslash mathrm\{id\}\_G=m\backslash circ(e\backslash times\backslash mathrm\{id\}\_G)$;
* inverses Element: $m\backslash circ(i\backslash times\backslash mathrm\{id\}\_G)\backslash circ\backslash Delta\_G=e\backslash circ\backslash xi=m\backslash circ(\backslash mathrm\{id\}\_G\backslash times\; i)\backslash circ\backslash Delta\_G$; dabei ist $\backslash Delta\_G\backslash colon\; G\backslash to\; G\backslash times\; G$ die Inklusion der Diagonale und $\backslash xi\backslash colon\; G\backslash to\; k$ der Strukturmorphismus.
Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass $(m,i,e)$ für jedes $k$-Schema $T$ auf der Menge $G(T)$ der $T$-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele

* Die additive Gruppe $\backslash mathbb\; G\_\{\backslash mathrm\; a\}$: $\backslash mathbb\; G\_\{\backslash mathrm\; a\}(T)=\backslash Gamma(T,\backslash mathcal\; O\_T)$ mit der Addition als Gruppenstruktur.
* Die multiplikative Gruppe $\backslash mathbb\; G\_\{\backslash mathrm\; m\}$: $\backslash mathbb\; G\_\{\backslash mathrm\; m\}(T)=\backslash Gamma(T,\backslash mathcal\; O\_T^\backslash times)$ mit der Multiplikation als Gruppenstruktur.
* Die allgemeine lineare Gruppe $\backslash mathrm\{GL\}\_n$: $\backslash mathrm\{GL\}\_n(T)=\backslash mathrm\{GL\}\_n(\backslash Gamma(T,\backslash mathcal\; O\_T))$; dabei ist bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren $n\backslash times\; n$-Matrizen mit Einträgen in dem Ring $\backslash Gamma(T,\backslash mathcal\; O\_T)$. $\backslash mathrm\{GL\}\_1$ kann mit $\backslash mathbb\; G\_\{\backslash mathrm\; m\}$ identifiziert werden.
Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.

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