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Algebraisch abgeschlossen

In der abstrakten_Algebra heißt ein Körper $K$ algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht konstante Polynom in einer Variablen mit Koeffizienten in $K$ eine Nullstelle in $K$ hat. Folgende Eigenschaften sind äquivalent:

* $K$ ist algebraisch abgeschlossen
* jedes Polynom $f\backslash in\; K[X]\backslash setminus\; K$ zerfällt über $K$ in Linearfaktoren
* die irreduziblen Polynome in $K[X]$ sind genau diejenigen vom Grad $1$
* für jede algebraische Erweiterung $L/K$ gilt $L=K$
* für jede natürliche Zahl $n$ hat jeder Endomorphismus von $K^n$ einen Eigenvektor

Beispielsweise ist der Körper der reellen_Zahlen nicht algebraisch abgeschlossen, denn das Polynom $X^2+1$ hat in $\backslash R$ keine Nullstelle. Der Körper $\backslash mathbb\{C\}$ der komplexen_Zahlen dagegen ist algebraisch abgeschlossen; diese Aussage bildet den Fundamentalsatz der Algebra. Der Körper der algebraischen_Zahlen über $\backslash mathbb\{Q\}$ ist trivialerweise algebraisch abgeschlossen. Es gibt keinen endlichen algebraisch abgeschlossenen Körper, denn ist , so ist $X^n-X+1$ mit dem Satz von Lagrange identisch $1$ und hat somit keine Nullstelle in $K$.

Ist ein Körper nicht algebraisch abgeschlossen, dann kann man ihm formal die Nullstellen von Polynomen über diesem Körper hinzufügen, und unter Verwendung des Lemma von Zorn einen algebraischen_Abschluss dieses Körpers konstruieren.

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