Alexander Grothendieck
Alexander Grothendieck (28. März 1928 in Berlin) ist ein französischer Mathematiker, der die Fields-Medaille erhielt und als Gründer einer eigenen Schule der _algebraischen_Geometrie deren Entwicklung in den 1960er Jahren maßgeblich beeinflusste. Nachdem er sich schon um 1970 von seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurückzog, verschwand er seit 1991 völlig aus dem öffentlichen Leben. Sein genauer Aufenthaltsort ist heute nur wenigen Freunden bekannt.Alexander Grothendiecks mathematische Veröffentlichungen umfassen die Gebiete der Topologie, der algebraischen_Geometrie und der Funktionalanalysis. Zu seinen späteren Arbeiten gehören Thesenpapiere und Meditationsschriften aus den Bereichen der Ökologie, Philosophie, Religion und vor allem der Esoterik.
Weil ein Großteil seines Lebens und Wirkens in Frankreich stattfand, wird sein Name oft als Alexandre Grothendieck angegeben.
Leben und Werk
Herkunft und Jugend
Alexander Grothendieck wird in Berlin geboren, wo seine Mutter, die norddeutsche jüdische Journalistin und Schriftstellerin Hanka Grothendieck, lebt und noch mit einem Mann verheiratet ist, der nicht sein Vater ist. Sein Vater heißt Alexander Schapiro und trat möglicherweise auch unter dem Namen ?Alexander Tanaroff? auf. Er ist von chassidischer Herkunft, wurde aber Anarchist und musste, weil er in der ukrainischen Machnobewegung aktiv gewesen ist, nach der russischen Oktoberrevolution die Ukraine verlassen. Alexander Schapiro verdingte sich als Straßenfotograf in Berlin, wo er Hanka Grothendieck begegnete.
"Schurik" Grothendieck verlebt seine frühe Kindheit in Berlin bei seinem Vater und seiner Mutter. 1933 flieht der Vater vor den Nationalsozialisten nach Paris. Die Mutter folgt ihm einige Monate später; Schurik bleibt in Berlin zurück.
Er lebt von 1934 bis 1939 bei Pflegeeltern, Magda und Wilhelm Heydorn, in Hamburg. Wilhelm Heydorn, ein suspendierter Theologe, ist trotz des Nazi-Regimes politisch aktiv. Schurik besucht die Volksschule und anschließend das Gymnasium in Hamburg-Blankenese.
Seine leiblichen Eltern, Hanka Grothendieck und Alexander Schapiro, engagieren sich unterdessen auf der Seite der anarchosyndikalistischen Gruppen im spanischen_Bürgerkrieg.
1939 folgt er seinen Eltern nach Frankreich. 1940 wird die gesamte Familie durch die Vichy-Regierung in einem Konzentrationslager interniert. Alexander Schapiro wird 1942 ins KZ Auschwitz-Birkenau gebracht und dort als eines der ersten Opfer ermordet.
1942 entkommt Alexander Grothendieck dem Lager und geht nach Le Chambon-sur-Lignon in den protestantischen Cevennen; jenem berühmten Dorf, das während des Holocaust Juden Unterschlupf gewährte. Er besucht dort das Collège Cevenol und schließt 1944 mit dem Baccalaureat ab. Nach der Befreiung durch die Alliierten werden Mutter und Sohn wieder vereint. Sie bleiben bis zu ihrem Tod aufgrund von Tuberkulose (eine Folge der Kriegsgefangenschaft) um 1957 eng verbunden. Sie zog seinen in Nancy geborenen Sohn Serge auf.
Studium und Funktionalanalysis
Von 1945 bis 1948 studiert Grothendieck Mathematik in Montpellier, wo er für sich allein Ergebnisse der Maßtheorie und das Lebesgue-Integrals wiederentdeckt. Danach wechselt er den Studienort, zunächst nach Paris an die Ecole Normale Superieure, wo er das berühmte Seminar von Henri Cartan besucht. Da er sich auf Funktionalanalysis spezialisiert, rät ihm dieser Ende 1949 zu Jean Dieudonné und Laurent Schwartz nach Nancy zu gehen. Er schließt 1953 in Nancy mit seiner einflussreichen Dissertation über topologische_Vektorräume ab, in der er viele offene Probleme mit abstrakten algebraischen (homologischen) Methoden löst (?Tensorprodukte und nukleare Räume?, erschienen in den Memoirs of the American Mathematical Society 1955). Es wird sogar erzählt, dass er alle Probleme einer Liste der vom Pionier der Distributionentheorie und Fields-Medaillisten Laurent Schwartz als wegweisend angesehenen 14 Probleme innerhalb eines Jahres löste. Da in Frankreich für ihn damals keine Stellen in Aussicht waren (er blieb zeitlebens staatenlosAnnahme der französischen Staatsbürgerschaft hätte Wehrdienst bedeutet, was seine Kandidatur sehr erschwerte), geht er auf Empfehlung von Freunden nach Sao Paulo, Harvard und an die Universität von Kansas, wo er bis 1956 bleibt. Er setzt dort seine Reihe fundamentaler Arbeiten in der Funktionalanalysis fort.
Algebraische Geometrie
Ab 1955 wendet sich Alexander Grothendieck der algebraischen_Geometrie zu. Zunächst schreibt er noch in Kansas eine einflussreiche Arbeit über die Theorie Abelscher Kategorien, die im Tohoku Mathem. Journal erscheint. Er arbeitet sich im Seminar von Claude Chevalley in Paris in das Thema ein und führt intensive Diskussionen mit Jean-Pierre Serre, auf dessen breites Wissen auch klassischer Resultate er immer wieder zurückgreift (der Briefwechsel der beiden aus dieser Zeit wurde 2003 veröffentlicht). Auch hier versucht er zuerst die Theorie möglichst weit zu abstrahieren: Sätze über algebraische Varietäten werden im Rahmen der Kategorientheorie in solche über Abbildungen (Morphismen) zwischen Kategorien von Objekten wie Varietäten und Gruppen umgewandelt. Sein für die damalige mathematische Welt eindrucksvollster Erfolg war die abstrakte Formulierung des Hirzebruch-Riemann-Roch Theorems, bei dem es um die Dimension des Raums der Vektorbündel über einer Varietät geht (im klassischen Fall einer Riemannfläche). Serre hatte schon eine Formulierung als alternierende Summe der Dimensionen der zugehörigen Kohomologiegruppen einerseits gegeben, die in dem Satz durch topologische Invarianten ausgedrückt wird. Der Satz wurde von Friedrich Hirzebruch mit komplizierten topologischen Methoden bewiesen. Grothendieck formulierte und bewies ihn in abstraktem algebraischen Rahmen. Veröffentlicht wurde das Ergebnis in einer Arbeit von Jean-Pierre Serre und Armand Borel 1957 (angeblich war es Grothendieck selbst noch nicht abstrakt genug). In dieser Arbeit liegen auch die Ursprünge der topologischen K-Theorie der 1960er Jahre, entwickelt u.a. von Michael Atiyah und Hirzebruch besonders in Zusammenhang mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz. Grothendieck schaffte damit auch auf diesem Gebiet den Durchbruch an die Spitze und wurde auf dem ICM in Edinburgh 1958 gebeten einen der Plenarvoträge zu halten. Hier skizzierte er auch schon sein späteres Programm, eine abstrakte topologische Homologietheorie in der algebraischen Geometrie zu formulieren, die so allgemein ist, dass sie ihre Ergebnisse gleichzeitig sowohl über Körpern wie den komplexen und reellen Zahlen (klassische algebraische Geometrie), als auch über endlichen und p-adischen Körpern (Zahlentheorie) formuliert. Analogien zwischen Zahlkörpern und Funktionenkörpern (algebraische Geometrie), die schon seit dem 19.Jahrhundert bekannt waren (z.B. Richard Dedekind, Heinrich Weber, Leopold Kronecker) könnten so in natürlicher Weise eine Erklärung finden (es ist sogar noch heute so, dass Sätze, deren Beweis für Zahlkörper zu schwierig ist, erst im einfacheren Fall von ?Funktionenkörpern? bewiesen werden).
Grothendieck arbeitet daran in den nächsten 12 Jahren intensiv (oft 12 Stunden jeden Tag) im Zentrum einer großen Schule von algebraischen Geometern wie Luc Illusie, Michael Artin, Jean-Louis Verdier, Pierre Deligne u.a., die sein Programm vorantreiben. Einige Jahre (bis 1960) war er auch im Bourbaki-Kreis aktiv. Ab 1959 ist er am Institute des Hautes Etudes Scientifiques (IHES) in Bures-sur-Yvette bei Paris. Auch in den USA, wo er auf Einladung von Oscar Zariski ab 1960 regelmäßig in Harvard Vorlesungen hält, bildet sich eine Schule: Robin Hartshorne, der ein weit verbreitetes Lehrbuch über Grothendiecks Schema-Zugang zur algebraischen Geometrie schrieb, Barry Mazur, Nicholas Katz u.a.. Die algebraische Geometrie wird um den Begriff des _Schema neu aufgebaut, eine Idee die ursprünglich von Pierre_Cartier stammt (1957). Das sind Ring-Räume lokal isomorph zu ?Spec (A)?, dem Spektrum eines Ringes (Menge der Primideale), die an die Stelle algebraischer Varietäten treten. Spezielle Schemata werden für die verschiedenen in der klassischen algebraischen Geometrie vorkommenden Varietäten verwendet. Um zu seinem Fernziel, dem Beweis der Weil-Vermutungen, zu gelangen, erfand Grothendieck auch noch eine neue Art von Topologie in der algebraischen Geometrie, die nicht wie die schon verwendete Zariski-Topologie algebraische Untervarietäten formalisiert, sondern die Idee der Überlagerungsmannigfaltigkeit über einem Basisraum, wie in der Theorie Riemannscher_Flächen oder bei algebraischen Zahlkörpern in der Klassenkörpertheorie. Er nannte diese Topologie Étale Kohomologie (étale frz. für ausgebreitet). Mit Übertragung von Ideen von Solomon Lefschetz aus der klassischen Theorie gelang es Grothendieck, einen Teil der Weil-Vermutungen zu beweisen (Rationalität der Zetafunktion, Funktionalgleichung). Er formulierte eine Reihe von ?Standardvermutungen? über algebraische Zyklen, aus denen diese folgen. Während diese aber bis heute unbewiesen sind gelingt es seinem Mitarbeiter und Schüler Pierre Deligne 1974 doch noch, auf dem von Grothendieck errichteten Theoriengebäude die letzte und schwierigste der Weil-Vermutungen, das Analogon zur Riemannvermutung, zu beweisen. Dabei benutzte er einen Trick aus der klassischen Theorie der Modulfunktionen, auf den Grothendieck alleine wegen seiner begrenzten Literaturkenntnisse nicht gekommen wäre. Als sich Grothendieck den Beweis erklären ließ, war er enttäuscht, dass er nicht über den von ihm vorgezeichneten Weg geführt wurde und verlor jegliches Interesse.
Die Frucht dieser Arbeiten aus den 1960er Jahren sind die Elements de Geometrie Algebrique (EGA), verfasst mit Jean Dieudonne, und die umfangreichen Seminaires de Geometrie Algebrique du Bois Marie (SGA) (Bois Marie heißt der Wald, in dem das IHES liegt) mit verschiedenen Autoren. Auf die Frage, warum man in seinem Seminar an der IHES so wenig Bücher fand, antwortete Grothendieck, sie würden sie dort selber schreiben. Aus Äußerungen von Grothendieck selbst kann man entnehmen, dass er, als sein intensives Bemühen um den Beweis der Weil-Vermutungen gegen Ende der 1960er Jahre auf Hindernisse stieß, um diese Zeit ?ausgebrannt? war. Heute noch Nachhall finden Grothendiecks Ende der 1960er Jahre entwickelten Vermutungen über Zusammenhänge der verschiedenen von der Grothendieck-Schule untersuchten Kohomologie-Theorien (l-adische Kohomologie, kristalline Kohomologie u.a.) in der algebraischen Geometrie, die Motive (z.B. in Gesprächen mit Yuri Manin, der darüber 1968 einen Aufsatz schrieb). Ein Beispiel aus der klassischen algebraischen Geometrie der Kurven wäre die Zuordnung von speziellen abelschen Varietäten, den Jacobi Varietäten zur Kurve und ihrer Riemannfläche, im Langlands-Programm werden als Motive Verbindungen zu automorphen Darstellungen vermutet.
Abwendung von der Mathematik
1966 wird Grothendieck mit der Fields-Medaille, der höchsten Auszeichnung der mathematischen Forschungsgemeinschaft, geehrt. Er lehnt es aber aus politischen Gründen ab, zu der offiziellen Verleihung nach Moskau zu reisen. Schon seit den 1950er Jahren rasiert sich Grothendieck eine Glatze wie sein Vater, den er verehrt, und trägt russische Bauernkleiderz.B. Sylvia Nasar in ihrer John Nash Biographie Beautiful mind. Die Studentenbewegung Ende der 1960er Jahre machte ihn politisch aktiv (teilweise wohl auch das Vorbild seines politisch stark engagierten Lehrers Laurent Schwartz), und er besucht auch 1967 Hanoi und hält dort Vorlesungen. Sein Haus in Paris ist für jeden offen. Ab 1970 beginnt Grothendieck seinen Rückzug aus der Mathematik und wendet sich zunehmend der Ökologie, der Philosophie und der Esoterik zu. Auch von seiner Position am IHES tritt er zurück, als er erfährt, das dieses Gelder vom französischen Verteidigungsministerium bekommt. Er ergründet die Religionen, vor allem den Buddhismus, und ist Mitbegründer der Gruppe Vivre et Survivre, denen sich zeitweise auch mathematische Freunde wie Claude Chevalley und Pierre Samuel anschließen. In den folgenden Jahren bekennt er sich immer steter zur alternativen Lebensweise der sechziger und siebziger Jahre: Er lebt in einer Kommune, hat einen und ist später auch selbst Guru.
Die Anfang der 1970er Jahre in Paris gehaltenen Vorlesungen am College de France und Orsay in Paris nutzt er lieber dazu, um über Umweltschutz und Friedenstheorie zu reden und bekommt Schwierigkeiten mit seinen Vorgesetzten. Auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1970 in Nizza verkauft er die Zeitung seiner Gruppe und eckt mit dem Organisator des Kongresses Jean Dieudonne an, 1973 opponiert er auf der Antwerpen Konferenz über Modulformen gegen die Finanzierung durch die NATO und verärgert seinen langjährigen Freund Jean-Pierre Serre.
1974 wird er Professor in Montpellier und hat ab 1984 eine Stelle beim nationalen Zentrum für wissenschaftliche Forschung (CNRS) inne. Er hält bis 1984 Vorlesungen, allerdings nicht über sein früheres Forschungsprogramm sondern auf elementarer Ebene ? und nach Auskunft ehemaliger Studenten erfolgreich. Gleichzeitig arbeitet er auf dem Weingut seiner Kommune. Mathematische Denkschriften von ihm, die er kursieren lässt, auch in der Hoffnung bei der CNRS eine neue Forschungsgruppe zu leiten, sorgen weiterhin für Aufsehen, so sein Esquisse d un programme (dt. Skizze eines Programms) von 1983, das von einfachen Graphen auf Riemannflächen (Dessins d enfants, ?Kinderzeichnungen?) und den Wirkungen von Galoisgruppen (speziell der absoluten Galoisgruppe über den rationalen Zahlen) auf diesen handelt. Er schreibt einen offenen Brief an Gerd Faltings und propagiert anabelian geometry, eine neuartige Synthese um die Modulräume algebraischer Kurven. In einem fast 600 Seiten langen ?Brief? (Pursuing stacks, A la poursuite des champs, 1983) an Daniel Gray Quillen, der maßgeblich am Ausbau der von Grothendieck initiierten K-Theorie beteiligt war, zeigt er Interesse an dessen Theorie höherer Kategorien (sein Buch Homotopical algebra von 1967), auf dessen Grundlage er auch eine neue Basis für die Topologie sieht (in Einschluss seiner eigenen Vision einer Verallgemeinerung aus den 1960er Jahren, der Topos-Theorie).
Andererseits kursieren Gerüchte von irritierenden Äußerungen (goldenes Zeitalter nach einem neuen Holocaust, kleine Abweichungen in den Naturkonstanten seien das Werk des Teufels, Kritisches über ehemalige Kollegen u.a.) in ?Säen und Ernten? (1983-1986) oder in ?Der Schlüssel der Träume?, in denen er der Idee nachgeht, Gott würde mit ihm in seinen Träumen reden, die er ausführlich analysiert. ?Säen und Ernten? war ursprünglich als Einleitung zu ?Pursuing stacks? gedacht und sollte seinen neuen Arbeitsstil intuitiver Vermutungen erläutern, entwickelte sich dann aber zu einer komplexen Tagebuch-artigen Gedankensammlung über die unterschiedlichsten Themen. In einem 1000 Seiten Exkurs (?The Burial?) beschuldigt er ehemalige Schüler und Mitarbeiter, sein Werk und seinen Arbeitsstil zu Grabe getragen zu haben, indem sie seine Ideen stahlen und seine 1970 hinterlassenen ?Baustellen? nicht weiterentwickelten. In einem ?La Lettre de la Bonne Nouvelle? (Brief der frohen Botschaft) an seine Freunde kündigt er 1990 das baldige Heraufziehen eines ?Neuen Zeitalters der Befreiung? an, nur um die Visionen in einem Brief kurz darauf wieder zurückzunehmen.
Als Alexander Grothendieck 1988 der renommierte schwedische Crafoord-Preis verliehen werden soll, schockt er die wissenschaftliche Gemeinschaft, indem er den Preis ablehnt. Er begründet dies mit seiner Kritik an der Politik von François Mitterrand sowie der mangelnden Ethik und weit verbreiteten moralischen Korruption unter seinen Kollegen (Brief an Le Monde, 4. Mai 1988, auch in Mathematical Intelligencer 1989). Das Verhalten stößt bei der Mehrheit der mathematischen Forschungsgemeinschaft auf Unverständnis.
1991 taucht er ohne Vorwarnung unter und verschwindet aus dem öffentlichen Leben. Er lebt fortan in vollständiger Isolation, sein genauer Aufenthaltsort irgendwo in den Pyrenäen ist nur wenigen Vertrauten bekannt.
1995 übergibt er dem Mathematiker Magloire noch ein 2000 Seiten Manuskript ?Les Derivateurs? über die Grundlagen der Homotopietheorie. Seinem Studenten Magloire hatte er auch schon das 1300 Seiten Manuskript ?Der lange Marsch der Galoistheorie? übergeben, entstanden aus einem aus ihm und Magloire bestehendem Seminar 1981 in Montpellier.
Würdigung
Grothendieck ist ein Theorien-Erbauer par excellance. Er drängt stets zu größtmöglicher Abstraktion unter Verwendung der _homologischen_Algebra, macht sie dann aber für den Beweis von Theoremen auch fruchtbar. Ein Beispiel ist sein Beweis seiner Version des Riemann-Roch Theorems in den 1950er Jahren. Grothendieck selbst hat von vielen Bereichen der klassischen Mathematik (selbst in der algebraischen Geometrie) wie er selbst zugibt nur geringe Kenntnisse, holte sich die notwendigen Informationen aber in Diskussionen von Freunden wie Jean-Pierre Serre. Das Fernziel seiner Entwicklungen der algebraischen Geometrie, die er solange abstrahierte bis sie auf gleicher Stufe wie die Zahlentheorie handhabbar war, war der Beweis der Weil-Vermutungen, worin erst sein Schüler und Mitarbeiter Pierre Deligne 1974 erfolgreich war.
Siehe auch
• Grothendieck-Universum
*(Mathematik)]
•_
_Mathematische_Veröffentlichungen_
*_Eine_kompakte_Übersicht_liefert_http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/mathtexts.php.
_Meditationsschriften_
Alexander_Grothendieck_verfasste_diverse,_unveröffentlichte_[[Meditation/'>Topos' target='blank'>(Mathematik)]
• (algebraische Geometrie)]
Mathematische Veröffentlichungen
* Eine kompakte Übersicht liefert http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/mathtexts.php.
Meditationsschriften
Alexander Grothendieck verfasste diverse, unveröffentlichte [[Meditationsschriften.
Zu seinen wichtigsten gehören:
* Eloge de l incest, 1981 (poetisches Werk)
* Récoltes et Semailles, 1983-85 (?Ernten und Säen?)
* La clef des songs ? ou dialogue avec le Bon Dieu, 1986 (?Der Schlüssel der Träume - ein Dialog mit dem guten Gott?)
* Notes pour La clef des songs, 1987 (Aufzeichnungen zu ?Schlüssel der Träume?)
Literatur
* Serre (Hrsg.) Grothendieck-Serre correspondence, AMS 2003
* Cartier, Illusie, Katz (Hrsg.) Grothendieck Festschrift, 3 Bde., Birkhäuser 1998 (mit Bibliographie seiner Schriften)
* Pierre Cartier A mad days work - from Grothendieck to Connes and Kontsevich, Bulletin AMS 2001, online hier: [http://www.ams.org/journals/bull/2001-38-04/home.html]
* ders. Grothendieck et les motifs, IHES 2000 preprint, online hier:[http://www.ihes.fr/~cartier/REFERENCES/pubIHES.html]
* Leila Schneps, Lochak (Hrsg.) Geometric Galois actions- around Grothendiecks Esquisse d un programme, London Math.Society Lecture Notes, Cambridge 1997 (mit Grothendiecks Esquisse)
* Pragacz The life and work of Alexander Grothendieck, American Mathematical Monthly, November 2006
* Robin Hartshorne Algebraic geometry, Springer 1997 (Standard-Lehrbuch zu Grothendiecks Zugang)
Weblinks
*
• Vorträge von Prof. Dr. Winfried Scharlau,
• Grothendieck Circle, dort auch links zu online Arbeiten (z.B. EGA, SGA, Esquisse, Recoltes et semailles)
* Comme Appelé du Néant ? As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck von Allyn Jackson, http://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf und http://www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf
• Barry Mazur "What is a motive?", Notices AMS November 2004, engl., pdf Datei
• Luc Illusie "What is a topos?", Notices AMS Oktober 2004, engl., pdf Datei
Quellen
{{Personendaten|
NAME=Grothendieck, Alexander
|ALTERNATIVNAMEN=Alexander Radatz (Geburtsname), Schurik Grothendieck (Rufname), Alexandre Grothendieck (französisch)
|KURZBESCHREIBUNG=1928
/'>GEBURTSORT= VIDEO-NEWS UND ANGEBOTE
