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Beugungsscheibchen

Beugungsscheibchen entstehen bei der Beugung eines Lichtstrahls an einer Blende. Ist die Blende kreisförmig, beobachtet man ein zentrales Maximum, umgeben von Ringen abnehmender Licht-Strahlungsintensität, einer Energiegröße. Mathematisch wird die Beugung von Licht durch das Beugungsintegral beschrieben.

Zentrales Beugungsscheibchen

Das Bild eines Lichtpunkts, das von einer kreisförmigen
Linse oder Öffnung (Lochkamera) endlicher Größe abgebildet wird, ist nicht etwa wieder ein Lichtpunkt, sondern ein Beugungsscheibchen, umgeben von konzentrischen Beugungsringen. Dieses Phänomen wird nicht durch Abbildungsfehler, sondern durch die Beugung des Lichts am Rand der Linse oder Blende hervorgerufen.
Die Größe des Beugungsscheibchens ist umgekehrt proportional zum Linsendurchmesser.
Nach dem englischen Astronomen George Biddell Airy wird der zentrale Beugungsfleck auch Airy-Scheibchen genannt.Weicht die Blende von der Kreisform ab, verändert sich die Form des Zentralmaximums und der höheren Beugungsordnungen. Das Bild links zeigt ein Beispiel für eine Rechteck-Blende. Ihre Orientierung ist oben links in der Bildecke angedeutet. Das Verhältnis von Höhe und Breite spiegelt sich auch im Zentralfleck wieder, aber mit reziproken Verhältnissen. Die Nebenmaxima sind am stärksten in den Hauptrichtungen ausgeprägt.
Abbildungen mit sechseckigen Blenden erzeugen Nebenmaxima, die der volkstümlichen Darstellung eines Sterns mit 6 Strahlen recht nahe kommt (siehe auch Diskrete Fourier-Transformation).

right|thumb|Sterne_(hier:_Hubble-Teleskop. Obwohl die Beugungsscheibchen gleich groß sind, erscheinen aufgrund von Überstrahlungen im Aufnahmematerial helle Sterne größer. Die ausgedehnten sternförmigen Spikes sind Artefakte. Sie entstehen durch Beugung an den rechtwinklig angeordneten Fangspiegelstreben im Strahlengang. Die ausgedehnten Spikes des Zentralsterns V838 Monocerotis lassen sogar die Helligkeitsmodulationen der Beugung erkennen. Beugungen höherer Ordnung außerhalb der Hauptstrikes sind zu lichtschwach und deshalb nicht zu erkennen.

Beugung an einer Kreisblende

hinter einer Kreisblende.]]Die Licht-Intensität $I(r)$ hinter einer Lochblende, die mit monochromatischem_Licht bestrahlt wird, folgt der Besselfunktion_erster_Art $J\_1(r)$, wobei $r$ vom Ursprung aus gemessen wird:
:$$
I(r) = \left(\frac{J_1(r)}{r}\right)^2


Man erkennt, dass die Intensität in regelmäßigen Abständen auf Null zurück geht und erhält nach außen schwächer werdende Ringe. Die Größe der zentralen Beugungsscheibe ergibt sich aus der ersten Nullstelle der Funktion $J\_1(r)$.
In der Funktionsdarstellung rechts liegt sie bei $3\{,\}8317...$. Da der Funktionswert um $2\backslash pi$ erweitert wurde und sich auf den Radius, nicht den Durchmesser, bezieht, beträgt die Winkelgröße $\backslash delta$ des zentralen Beugungsscheibchens:
:$$
\sin(\delta) = 3{,}83/(2 \cdot \pi) \cdot 2 \frac {\lambda}{D} = 1{,}22 \frac {\lambda}{D}


mit $\backslash lambda$ = Wellenlänge des Lichtes,
$D$ = Durchmesser der Blende.

Die Größe des Beugungsscheibchens, das sich aus dem kleinsten Blendendurchmesser eines optischen Instruments ergibt, bestimmt das Auflösungsvermögen. Dabei ist es egal, ob es sich um eine Lochblende im Strahlengang, oder um die Randbegrenzung einer Linse handelt. Zwei Punkte lassen sich nur dann sicher trennen, wenn in der Abbildung ihre Maxima mindestens um den Radius $r$ des Beugungsscheibchens auseinander liegen.

Bildet eine Linse das Bild in der Brennebene $f$ ab, hat das zentrale Beugungsscheibchen den Durchmesser $d$ (= $2\; \backslash cdot\; r$):
:$$
d = 2 \cdot 1{,}22 \ \lambda \ \frac {f} {D}


mit $\backslash lambda$ = Wellenlänge des Lichtes, $f$ = Brennweite der abbildenden Linse, $D$ = Durchmesser der Linse.

Je größer der Durchmesser $D$ bzw. je kleiner die Blendenzahl $f/D$ ist, desto kleiner ist der Winkel $\backslash alpha$ bzw. der Durchmesser $d$ des Beugungsscheibchens. Das ist einer der Gründe dafür, dass hoch auflösende Teleskope große Spiegel benötigen.

Näherungen

In der Praxis rechnet man oft mit folgenden Näherungsformeln:

*$d\; =\; f/D$ mit $f/D$ dimensionslos, $d$ in µm

und

*$\backslash alpha\; =\; 100/D$ mit $\backslash alpha$ in Winkelsekunden, Blende in mm

Beispiele

1. Eine Kleinbildkamera mit einer Blende von $f\; /\; D\; =\; 2\{,\}4$
erzeugt ein Beugungsscheibchen von ca. $2\; \backslash mu\backslash mathrm\{m\}$ Durchmesser. Es ist auf einem Negativ-Film fast nicht mehr auflösbar. Erst bei astronomischen Fernrohren mit langer Brennweite macht sich die Aufweitung der Lichtpunkte bemerkbar. Oft durchziehen helle Linien sternförmig die Beugungsscheibchen. Sie resultieren aus Beugungserscheinungen an stabförmigen Spiegelhalterungen und facettierten Blenden.

2. Wenn die Internationale Raumstation ISS mit einem Objektiv $D$ von 0,1 m Durchmesser ausgerüstet ist, lassen sich Details der Größe von einer Winkelsekunde auflösen. Bei einer Flughöhe von 400 km entspricht das einer Auflösung $x$ von ca. 2 m:

:$$
\frac{\lambda}{D} = \frac{x}{h} \Leftrightarrow x= \frac {0{,}5 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}4 \cdot 10^{6}}{0{,}1}\mathrm{m} = {2} \ \mathrm{m}


Um die Details auch fotografieren zu können, müssen sie größer sein als das Auflösungsvermögen $d$ des Filmmaterials. Wenn $d$ ca. $5\; \backslash mu\backslash mathrm\{m\}$ beträgt, ist eine Brennweite $f$ von mindestens 1 m erforderlich:
:$d\; =\; \backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{f\}\; \{D\}$
\Leftrightarrow f= \frac {5 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}1}{0{,}5 \cdot 10^{-6}}\mathrm{m} = {1} \ \mathrm{m}


Die kleine Blendenzahl von $f\; /\; D\; =\; 10$ erfordert lange Belichtungszeiten, oder hochempfindliche Filme, die wiederum eine geringe Ortsauflösung besitzen.

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