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Affinität (Mathematik)

In der Geometrie wird der Begriff Affinität für eine Ähnlichkeit ohne Winkeltreue verwendet (Spezialfall einer affinen_Abbildung).

Eine affine Abbildung ist eine Abbildung, bei der die Punkte, Geraden und Ebenen des Raumes wiederum Punkten, Geraden und Ebenen zugeordnet werden.
Erhalten bleibt das Teilverhältnis von 3 Punkten auf einer Geraden. Jedoch verändern sich meist die Längen und die Größen der Winkel und damit die Flächen- und Rauminhalte.

Eine Affinität ist eine affine Selbstabbildung (von einem affinen Raum der Dimension n in den Raum selbst) der Form

:$\backslash alpha:\; \backslash vec\; x\text{'}\; =\; \{A\_n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\; x\; +\; \backslash vec\; c$
mit
$\backslash det(A\_\{n\})\; \backslash neq\; 0$, d.h. die Abbildung ist bijektiv.

Klassifizierung von Affinitäten

Radiale Affinitäten

Eine Affinität heißt radiale/zentrische Affinität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt, dies ist äquivalent mit $\backslash mathrm\{rang\}\; (A\_n\; -\; E\_n)\; =\; \backslash mathrm\{rang\}\; (A\_n\; -\; E\_n,\; \backslash vec\; c)\; =\; n$.
: (zu $\backslash mathrm\{rang\}(f)$ siehe Rang)

Perspektive Affinitäten

Eine Affinität heißt perspektive Affinität, wenn sie genau eine Fixpunkthyperebene besitzt, was äquivalent mit $\backslash mathrm\{rang\}(A\_n\; -\; E\_n)\; =\; \backslash mathrm\{rang\}\; (A\_n\; -\; E\_n,\; \backslash vec\; c)\; =\; 1$ ist.

Eine perspektive Affinität heißt Parallelstreckung, wenn sie neben dem Eigenwert $\backslash lambda\_1\; =\; e$ noch einen Eigenwert $\backslash lambda\_2\; \backslash in\; K\; \backslash setminus\; \backslash lbrace\; 0\; \backslash rbrace$ besitzt.

Eine Parallelstreckung mit $\backslash lambda\_2\; =\; -e$ heißt Affinspiegelung.

Eine perspektive Affinität heißt Scherung, wenn sie nur den Eigenwert $\backslash lambda\_1\; =\; e$ besitzt.

Homothetien

Eine Affinität mit
:$A\_n\; =\; k\; \backslash cdot\; E\_n$ mit $k\; \backslash in\; K\; \backslash setminus\; \backslash lbrace\; 0\; \backslash rbrace$ (K ist ein Körper) heißt Homothetie.

Falls außerdem

*$k\; \backslash in\; K\; \backslash setminus\; \backslash lbrace\; 0,e\; \backslash rbrace$ heißt $\backslash alpha$ Zentralstreckung oder Dilatation

*$k\; =\; e$ heißt $\backslash alpha$ Verschiebung oder Translation

*$k\; =\; -e$ heißt $\backslash alpha$ Punktspiegelung.

Unimodularität

Eine Affinität heißt unimodular, wenn $\backslash det(A\_n)\; =\; \backslash pm\; e$.

Sie ist eigentlich unimodular, wenn $\backslash det(A\_n)\; =\; e$.

Inhaltstreue

Ist der zugrunde liegende Körper angeordnet, so ist eine Affinität inhaltstreu, wenn $\backslash det(A\_n)\; =\; \backslash pm\; 1$.

Sie ist gleichsinnig, wenn $\backslash det(A\_n)\; >\; 0$.

Eigenschaften allgemeiner Affinitäten

Affinitäten besitzen eine Reihe von Eigenschaften, die bei Konstruktionen ausgenutzt werden können.

Geradentreue

Das Bild einer Geraden unter einer Affinität ist wieder eine Gerade.

Parallelentreue

Das Bild $p\text{'}$ einer Parallelen $p$ zu einer Geraden $g$ ist eine Parallele zu $g\text{'}$ (dem Bild von $g$).

Eigenschaften perspektiver Affinitäten

Geraden durch Punkt und Bildpunkt sind Fixgeraden

Eine Gerade $\backslash overline\{PP\text{'}\}$, durch einen Punkt $P$ und seinen Bildpunkt $P\text{'}$ ist eine Fixgerade. Dies lässt sich mit Hilfe der Fixpunktgerade $a$ der perspektiven Affinität zeigen:

* Wenn $\backslash overline\{PP\text{'}\}$ die Fixpunktgerade $a$ in einem Punkt $P\_a$ schneidet, so ist das Bild von $\backslash overline\{PP\_a\}$ aufgrund der Geradentreue die Gerade $\backslash overline\{P\_aP\text{'}\}$. Diese fällt aber mit $\backslash overline\{PP\text{'}\}$ zusammen.
* Wenn $\backslash overline\{PP\text{'}\}$ parallel zu $a$ ist, dann ist das Bild von $\backslash overline\{PP\text{'}\}$ aufgrund der Parallelentreue eine Parallele zu $a$ durch $P\text{'}$, da das Bild von $a$ gleich $a$ selbst ist. Diese Parallele fällt aber mit $\backslash overline\{PP\text{'}\}$ zusammen.

Parallelen von Fixgeraden sind wieder Fixgeraden

Das Bild $p\text{'}$ einer Parallelen $p$ zu einer Fixgeraden $f$ ist selbst wieder eine Fixgerade. Die Aussage folgt aus der Parallelen- und Teilverhältnistreue:
* Da $f$ und $p$ parallel sind, muss auch $f\; =\; f\text{'}$ und $p\text{'}$ parallel sein. Aus der Transitivität der Parallelität folgt, dass dann auch $p$ und $p\text{'}$ parallel sein müssen.
* Wähle einen Punkt $A$ auf der Affinitätsachse $a$ und einen Punkt $X$ auf $f$.
* Da $f$ und $p$ parallel sind, schneidet die Verbindungsgerade $\backslash overline\{AX\}$ auch $p$ in einem Punkt $P$.
* Da $f$ eine Fixgerade ist, liegt das Bild $X\text{'}$ von $X$ auf $f$ und das Bild von $\backslash overline\{AX\}$ ist gleich $\backslash overline\{AX\text{'}\}$.
* Über die Verhältnistreue folgt, dass $\backslash left/\text{'}>AX\backslash right|$ zu $\backslash left|AP\backslash right|$ wie $\backslash left|AX\text{'}\backslash right|$ zu $\backslash left|AP\text{'}\backslash right|$.
* Mit der Umkehrung des ersten Affinkombination
Affiner Raum
Affine Hülle

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