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Zusammenhang (Differentialgeometrie)

Im mathematischen_Teilgebiet der Differentialgeometrie ist ein Zusammenhang ein Hilfsmittel, um Richtungsänderungen im Laufe einer Bewegung zu quantifizieren und Richtungen in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen.

Definition: Zusammenhang auf dem Tangentialbündel

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Zusammenhang auf dem Tangentialbündel von $M$ ist eine Abbildung $\backslash nabla$, die je einem Tangentialvektor $X\backslash in\; T\_pM$ in einem Punkt $p\backslash in\; M$ und einem in einer Umgebung von $p$ definierten differenzierbaren lokalen Vektorfeld $Y$ einen Tangentialvektor $\backslash nabla\_XY$ zuordnet, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $\backslash nabla\_XY$ hängt linear und differenzierbar von $X$ ab.
* $\backslash nabla\_XY$ ist $\backslash mathbb\; R$-linear in $Y$.
* $\backslash nabla\_X(fY)=Xf\backslash cdot\; Y+f\backslash cdot\backslash nabla\_XY$
:: für jede in einer Umgebung von $p$ definierte, differenzierbare lokale Funktion $f$.

Ausführlicher formuliert besteht die erste Bedingung aus den folgenden beiden Punkten:
* $\backslash nabla\_\{\backslash lambda\_1X\_1+\backslash lambda\_2X\_2\}Y\; =\backslash lambda\_1\backslash cdot\backslash nabla\_\{X\_1\}Y+\backslash lambda\_2\backslash cdot\backslash nabla\_\{X\_2\}Y$
:: für $\backslash lambda\_1,\backslash lambda\_2\backslash in\backslash mathbb\; R$ und $X\_1,X\_2\backslash in\; T\_pM$
* Ist $X$ ein differenzierbares lokales Vektorfeld, so ist $p\backslash mapsto\backslash nabla\_\{X\_p\}Y$ ein differenzierbares Vektorfeld.
Die zweite Bedingung bedeutet:
* $\backslash nabla\_X(\backslash lambda\_1Y\_1+\backslash lambda\_2Y\_2)=\backslash lambda\_1\backslash cdot\backslash nabla\_XY\_1\; +\; \backslash lambda\_2\backslash cdot\; \backslash nabla\_XY\_2$
:: für $\backslash lambda\_1,\backslash lambda\_2\backslash in\backslash mathbb\; R$ und lokale Vektorfelder $Y\_1,Y\_2$.
Die dritte Bedingung entspricht der Produktregel beim Differenzieren. Insgesamt verhält sich ein Zusammenhang also so, wie man es von einem Ableitungsoperator erwartet.

Eine äquivalente Beschreibung charakterisiert Zusammenhänge als Abbildungen $\backslash nabla$, die zwei lokalen differenzierbaren Vektorfeldern $X,Y$ ein lokales differenzierbares Vektorfeld $\backslash nabla\_XY$ zuordnet, so dass $\backslash nabla\_XY$ $C^\backslash infty$-linear in $X$ und $\backslash mathbb\; R$-linear in $Y$ ist, und so dass
: $\backslash nabla\_X(fY)=Xf\backslash cdot\; Y+f\backslash cdot\backslash nabla\_XY$
für lokale differenzierbare Funktionen $f$ gilt. Dabei bedeutet $C^\backslash infty$-linear, dass $\backslash nabla\_XY$ additiv in $X$ ist und
: $\backslash nabla\_\{fX\}Y=f\backslash cdot\backslash nabla\_XY$
für lokale differenzierbare Funktionen $f$ gilt.

Wichtigstes Beispiel für einen Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der es einem auf Riemannschen_Mannigfaltigkeiten erlaubt, ein Vektorfeld in Richtung eines anderen zu differenzieren.

Definition: Zusammenhang auf einem Vektorbündel

Ist $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein Vektorbündel auf $M$, so ist ein Zusammenhang auf $E$ eine Abbildung $\backslash nabla$, die einem lokalen differenzierbaren Vektorfeld $X$ eine Abbildung
: $\backslash nabla\_X\backslash colon\; C^\backslash infty(E)\backslash to\; C^\backslash infty(E)$
zuordnet, die
: $\backslash nabla\_X(fe)=Xf\backslash cdot\; e+f\backslash cdot\backslash nabla\_Xe$
für lokale Funktionen $f$ und lokale Schnitte $e$ erfüllt.

Ähnlich wie oben ist auch eine lokalisierte Version dieser Definition mithilfe von Abbildungen
: $\backslash nabla\_\{X\_p\}\backslash colon\; C^\backslash infty(E)\_p\backslash to\; E\_p$
für Tangentialvektoren $X\_p\backslash in\; T\_pM$ möglich.

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