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Affine Geometrie

Die affine Geometrie ist eine Verallgemeinerung der Euklidischen Geometrie, in der zwar das euklidische Parallelenaxiom gilt, aber Abstand und Winkel keine Bedeutung haben.

Im Sinne des Erlanger Programms von Felix Klein wird die affine Geometrie als Inbegriff der unter affinen_Abbildungen invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt.

Definition

Von einer affinen Geometrie spricht man, wenn man eine Menge von Punkten $\backslash mathfrak\{P\}$, eine Menge von Geraden
$\backslash mathfrak\{G\}$, eine Inzidenzrelation $\backslash mathrm\{I\}$ zwischen $\backslash mathfrak\{P\}$ und $\backslash mathfrak\{G\}$ sowie eine Parallelitätsrelation $\backslash |$ auf $\backslash mathfrak\{G\}$ gegeben hat, und folgende Axiome erfüllt werden:

* Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade.
* Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte.
* Die Parallelitätsrelation $\backslash |$ ist eine Äquivalenzrelation
* Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel ist.
* Wenn ein Dreieck ABC gegeben ist, und zwei Punkte $A\text{'}$ und $B\text{'}$ derart, dass die Gerade $g\_\{AB\}$ parallel zu der Geraden $g\_\{A\text{'}B\text{'}\}$ liegt, so gibt es einen Punkt $C\text{'}$ so, dass auch $g\_\{AC\}$ parallel zu $g\_\{A\text{'}C\text{'}\}$ und $g\_\{BC\}$ parallel zu $g\_\{B\text{'}C\text{'}\}$ liegen.

Schreib- und Sprechweise

*Punkte werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet. $A,B,C,...\backslash in\backslash mathfrak\{P\}$
*Geraden werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. $a,b,c,...\backslash in\backslash mathfrak\{G\}$
*Gilt für $A\backslash in\backslash mathfrak\{P\}$ und $g\backslash in\backslash mathfrak\{G\}\backslash \; A\backslash mathrm\{I\}g$ so sagt man, A inzidiert mit g, oder A liegt auf g oder g geht durch A.
*Gilt für $g,h\backslash in\backslash mathfrak\{G\}\backslash \; g\backslash /\text{'}>h$ so sagt man, g und h sind parallel.
*Seien $A,B\backslash in\backslash mathfrak\{P\}$ zwei Punkte, so wird die nach dem ersten Axiom eindeutig definierten Gerade durch $A$ und $B$ mit $g\_\{AB\}$ bezeichnet.

Beispiele

*Durch Vektorräume erzeugte Körper $\backslash mathbf\{F\}\_2$ erzeugt werden kann. Sie besteht aus den Punkten $\backslash mathfrak\{P\}=\backslash \{A,B,C,D\backslash \}$ und den Geraden $\backslash mathfrak\{G\}=\backslash \{g\_\{AB\},g\_\{AC\},g\_\{AD\},g\_\{BC\},g\_\{BD\},g\_\{CD\}\backslash \}$. Ferner gilt $g\_\{AB\}\backslash |g\_\{CD\},\; g\_\{AC\}\backslash |g\_\{BD\},\; g\_\{AD\}\backslash |g\_\{BC\}$

Alle durch Vektorräume erzeugte affine Geometrien erfüllen den großen_affinen_Satz_von_Desargues. Es gibt aber auch affine Geometrien, die nicht diesen Satz erfüllen, sie können mithin nicht durch einen Vektorraum erzeugt werden. Ein Beispiel hierzu ist die
*Moulton-Ebene

Hat die affine Geometrie mehr als zwei Dimensionen, so wird der große affine Satz von Desargues immer erfüllt, trivialerweise auch, wenn die affine Geometrie weniger als zwei Dimensionen hat. Er ist mithin nur für affine Ebenen von Bedeutung.

Literatur

*Günter Ewald: Geometrie, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 3-525-40536-7

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