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Affine Ebene

Eine affine Ebene ist in der Geometrie eine Punkte und Geraden umfassende Inzidenzstruktur, die im wesentlichen durch zwei Forderungen, nämlich dass je zwei Punkte eine (eindeutige) Verbindungsgerade besitzen und dass es parallele Geraden gibt, charakterisiert ist.

Definition

Eine Inzidenzstruktur $\backslash langle\; P,\backslash mathcal\; L,\backslash mathbf\; F\backslash rangle$, die aus einem Punktraum $P$, einem Geradenraum $\backslash mathcal\{L\}$ und einer Inzidenzrelation zwischen diesen besteht, affine Ebene genau dann, wenn
# je zwei Punkte aus $P$ auf genau einer Geraden aus $\backslash mathcal\{L\}$ liegen,
# das Parallelenpostulat gilt, d.h. wenn es zu jeder Geraden $L\backslash in\backslash mathcal\{L\}$ und zu jedem Punkt $p\backslash in\; P$, der nicht auf $L$ liegt, genau eine weitere Gerade $K\backslash in\backslash mathcal\{L\}$ gibt, die $p$ enthält und sich nicht mit $L$ schneidet,
# es ein Dreieck gibt, d.h. drei verschiedene Punkte aus $P$, die nicht alle auf einer Geraden aus $\backslash mathcal\{L\}$ liegen.

Beispiele

thumb|right|kleinstes_Modell_einer_affinen_Ebene
* Der zweidimensionale Vektorraum $\backslash mathbb\; R^2$ über den reellen Zahlen, wobei $P=\backslash mathbb\; R^2$ gilt, $\backslash mathcal\; L$ alle eindimensionalen affinen Unterräume umfaßt und die Inzidenzrelation durch die Enthaltensrelation $\backslash in$ gegeben ist.
* Ebenso der zweidimensionale Vektorraum $K^2$ über einem beliebigen Körper (oder auch: Schiefkörper) $K$
* Im Fall $K=\backslash mathbb\; F\_2$ erhält man die kleinste affine Ebene, die aus aus vier Punkten besteht.Siehe auch: affine Geometrie

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