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Adjunkte

Die Adjunkte, klassische Adjungierte oder komplementäre Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen_Teilgebiet Lineare Algebra. Man bezeichnet damit die transponierte Matrix der Cofaktoren, also der vorzeichenbehafteten Minoren.
:$\backslash operatorname\{adj\}(A)\; =\; \backslash tilde\; A^T\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
\tilde a_{11} & \tilde a_{21} & \cdots & \tilde a_{n1}\\
\tilde a_{12} & \tilde a_{22} & & \tilde a_{n2}\\
\vdots & & \ddots & \vdots\\
\tilde a_{1n} & \tilde a_{2n} & \cdots & \tilde a_{nn}\end{pmatrix}
Man sollte hierbei beachten, dass dem Indexpaar $(i,j)$ der Cofaktor $\backslash tilde\; a\_\{ji\}$ zugeordnet wird. Die Cofaktoren $\backslash tilde\; a\_\{ji\}$ berechnen sich zu
:$\backslash tilde\; a\_\{ji\}\; =\; (-1)^\{j+i\}\backslash cdot\; M\_\{ji\}\; =\; (-1)^\{j+i\}\backslash cdot\; \backslash begin\{vmatrix\}$
a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\
a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{n,n}\end{vmatrix}.

Die Minoren $M\_\{ji\}$ sind die Werte der Unterdeterminanten der transponierten Matrix $A$, die durch Streichen der $j$-ten Zeile und der $i$-ten Spalte entstehen.

Da die Adjunkte in heutigen Lehrbüchern selten auftaucht und in älteren Werken die Notation alles andere als eindeutig war, ist Vorsicht geboten. Oft wird die selbe Notation für die Adjunkte und die Adjungierte (also bei reellen Matrizen deren Transponierte, bei komplexen Matrizen deren konjugiert-transponierte, bei allgemeineren Räumen mithilfe des zugrunde liegenden Skalarproduktes oder Sesquilinearproduktes) verwendet.

Beispiel

Eine beliebige $3\; \backslash times\; 3$-Matrix hat die Form
:
Die Adjunkte zu dieser Matrix ist
:$\backslash begin\{matrix\}$
\operatorname{adj} (A) &
= & \begin{pmatrix}
\operatorname{det}\begin{pmatrix}e & f\\ h & i\end{pmatrix} &
- \operatorname{det}\begin{pmatrix}d & f\\ g & i\end{pmatrix} &
\operatorname{det}\begin{pmatrix}d & e\\ g & h\end{pmatrix} \\
- \operatorname{det}\begin{pmatrix}b & c\\ h & i\end{pmatrix} &
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a & c\\ g & i\end{pmatrix} &
- \operatorname{det}\begin{pmatrix}a & b\\ g & h\end{pmatrix} \\
\operatorname{det}\begin{pmatrix}b & c\\ e & f\end{pmatrix} &
- \operatorname{det}\begin{pmatrix}a & c\\ d & f\end{pmatrix} &
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a & b\\ d & e\end{pmatrix}
\end{pmatrix}^T\\
& = & \begin{pmatrix}
ei - hf & gf - di & dh - eg \\
ch - bi & ai - cg & bg - ah \\
bf - ce & cd - af & ae - bd
\end{pmatrix}^T\\
& = & \begin{pmatrix}
ei - hf & ch - bi & bf - ce \\
gf - di & ai - cg & cd - af \\
dh - eg & bg - ah & ae - bd
\end{pmatrix}
\end{matrix}

Berechnung der Inversen einer Matrix

Hauptartikel: Reguläre Matrix

Die einzelnen Spalten der Inversen_einer_Matrix $A$ werden jeweils von der Lösung des Gleichungssystems $Ax\; =\; e\_j$ mit dem $j$-ten Einheitsvektor auf der rechten Seite gebildet. Berechnet man diese mit der Cramer?schen_Regel, so erhält man die Formel
:$A^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{adj\}\; (A)\}\{\backslash det(A)\}$

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